Qual è l'insieme dei valori che assume (sin α + cos α)² al variare di α in R?

A) [1, 3] B) [0, 1] C) [2, 4] D) [0, 2] E) [–1, 1]

Potendo impiegare il computer, la risposta è ovviamente facile; ad es. con WolframAlpha ottengo:

I valori che assume il termine costituiscono l'intervallo [0, 2].

Vediamo come procedere senza computer.

Ragioniamo direttamente, senza esaminare le risposte proposte; poi vedremo come si poteva ragionare per esclusione. Consideriamo diverse srategie.

1) sin α e cos α sono, rispettivamente, ordinata e ascissa di punti del cerchio di centro (0,0) e raggio 1.
– Si intuisce subito - vedi figura a lato - che la loro somma è massima quando α è 45°, ossia quando vale √2/2+√2/2 = √2. Vediamone una spiegazione argomentata:
gli altri (x,y) aventi per somma √2 stanno sulla tangente al cerchio nel punto corrispondente a tale α, e quindi i punti del cerchio diversi da esso, come il punto (x,y₁) raffigurato, hanno x a cui sulla tangente corrisponde y₂>y₁ e si ha x+y₁ < x+y₂=√2.
– Analogamente è minima quando α è (45+180)°, e vale –√2.
– Vale 0 quando α = -45° e quando α = (45+90)° (ossia quando α ha tengente -1).
Da ciò si deduce che sin α + cos α assume come valori l'intervallo [–√2, √2] e, quindi, (sin α + cos α)² assume come valori l'intervallo [0,2].

2) Un altro ragionamento basato su considerazioni grafiche e che non richiede calcoli è il seguente (è lungo da descrivere a parole ma rapido da eseguire mentalmente/geometricamente): i grafici delle funzioni sin e cos sono uno simmetrico dell'altro rispetto alla retta x=45° (ossia x=π/4); quindi la funzione somma sin+cos ha grafico simmetrico rispetto a tale retta; tra 0 e 90° entrambi i grafici hanno concavità verso il basso; sin ha pendenza decrescente positiva e cos ha pendenza decrescente negativa; quindi a sinsitra/destra di x=45° sin+cos cersce/decresce. Quindi è per α = 45° che sin α + cos α assume valore massimo, pari a sin(45°)+cos(45°) = √2.
Per simmetria si ha che il valore minimo assunto è –√2 e, come sopra, si deduce che la funzione continua sin+cos ha come immagine [–√2, √2] e la sua funzione quadrato ha come immagine [0, 2].
Immaginando i grafici di sin e cos si poteva comunque stimare facilmente che sin+cos varia tra entro [–1.5, 1.5] e capire che la risposta al quesito era [0, 2].

3) Se si conosce la tecnica della derivazione si può rispondere, in modo meno rapido e più meccanico, derivando la funzione α (sin α + cos α)²:
D_α((sin α + cos α)²) = 2(cos(α)+sin(α))(cos(α)-sin(α)) = 2(cos(α)²-sin(α)²) che vale 0 per α = 45° + "multipli di 90°", proseguendo il procedimento, si arriva alle stesse conclusioni trovate sopra.

4) Sempre ricorrendo alla tecnica della derivazione si può rispondere trovando, in modo meno rapido rispetto a (1), quando è massima la somma delle coordinate del punto del cerchio, pensato come grafico di x √(1-x²):
D_x(x+√(1-x²)) = 0 se x=1/√2; in corrispondenza x+√(1-x²) = 2/√2, il cui quadrato è 2.

5) I masochisti, reperendo qualche formula trigonometrica (ad es. quella per calcolare cos(p)+cos(q)), possono procedere così:
cos(α) + sin(α) = cos(α) + cos(90°-α) = 2 cos(90°/2) cos((2α-90°)/2) = √2 cos((2α-90°)/2); il coseno varia tra -1 e 1; quindi il termine varia tra √2·(-1) e √2·1, e il suo quadrato tra 0 e 2.

Vediamo, ora, come si poteva ragionare facilmente per esclusione.
[-1,1] è da escludere in quanto un quadrato non può essere negativo.
[1,3] e [2,4] sono da escludere in quanto, ad es.: sin+cos è continua, assume valori sia positivi (in 90°) che negativi (in 270°), quindi assume anche il valore 0.
[0,1] è da escludere in quanto, ad es., sin(30°)+cos(30°) = 1/2+√3/2 = (1+√3)/2 > (1+1)/2 = 1.

Di fronte a questo quesito, in un test sottoposto a una cinquantina di laureati in matematica, fisica e ingegneria (nel 2000) solo il 58% delle persone ha risposto correttamente, nonostante la facilità del quesito per un laureato del genere. Si sono avute risposte di tutti i tipi. La più gettonata (15% delle persone) delle risposte sbagliate è stata (A): valori tra 1 e 3. Ciò è probabilmente indice di una difficoltà ha ragionare per "immagini" e di una tendenza a cercare aiuti nei calcoli e nel ricordo di formule, valori, … (il 3 della risposta A, ad es., probabilmente viene fuori da una elaborazione che parte da qualche √3/2).

Vediamo come si poteva procedere con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (sin(x)+cos(x))^2
BF=4; HF=1.5; graphF(f, -3,6, "brown")
# Capisco che la risposta è D.
# Volendo trovare i valori numericamente:
maxmin(f,0,1) # ottengo 0.7853982 (pi/4)
f( maxmin(f,0,1)) # ottengo 2
maxmin(f,1,3) # ottengo 2.356194
f( maxmin(f,1,3)) # ottengo 9.339088e-20, ossia 0
Vediamo come procedere senza computer.