Sia F(x) = 4√(x2).  Schizza i grafici di F e della sua funzione derivata.

F è definita per ogni input.
4√(x2) = (x2)1/4 = x2·1/4 = x1/2 = √x, ma nella trasformazione abbiamo ristretto il dominio a x≥0.
La prima funzione che viene composta (x x2) ha output uguali per input opposti, ovvero ha grafico simmetrico rispetto all'asse y (in breve: è una funzione "pari").
Quindi F si comporterà simmetricamente (rispetto all'asse y) per x≤0, ossia ivi F(x) = √(–x).
Ossia il grafico di F è quello di x √x unito alla figura ottenuta ribaltando questo attorno all'asse y.
Per x>0 F'(x) = (√x)' = 1/(2√x) . Per x → ∞ tende a 0, per x →0+ tende a ∞.
A sinistra dell'asse y il grafico di F' è simmetrico (rispetto all'origine): F'(x)→0 per x→-∞, F'(x)→-∞ per x→0-. 		 
In 0 F' non è definita.

Per altri commenti: potenze 2 (per le potenze ad esponente frazionario e i relativi problemi di dominio), funzione 2 (per le funzioni pari) e derivata (per le funzioni continue con punti del grafico senza tangente) neGli Oggetti Matematici.

Il grafico sopra a destra è stato realizzato con WolframAlpha mediante il comando
plot (x^2)^(1/4), D((x^2)^(1/4)), -3 < x < 3, -2 < y < 2

# A destra i grafici con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) (x^2)^(1/4)
BF=3.5; HF=2.5
Plane(-3,3, -2,2)
graph(F, -3,3, "blue")
dF = function(x) eval( deriv(F,"x") )
graph(dF, -3,3, "red")
text(-1.5,1.6,"F"); text(-1.5,-0.75,"F'")