Tra i rettangoli di dato perimetro, qual è quello di area massima? perché?

Sia P il perimetro. Intutivamente, pensando alla situazione limite in cui una delle due dimensioni diventa P/2 e l'altra 0, ossia, vedi figura a lato, in cui il rettangolo si riduce al segmento AK, è facile congetturare che la situazione di area massima sia quella in cui il rettangolo è un quadrato (entrambe le dimensioni uguali a P/4). La cosa può essere effettivamente dimostrata, in vari modi.
Uno dei più semplici è il seguente:

se passiamo dal quadrato ABCD al rettangolo AEFG di egual perimetro, si ha DG = EB; infatti ciò che tolgo ad AB per arrivare ad AE deve essere compensato da quel che aggiungo ad AD arrivando ad AG; quindi, per quel che riguarda l'area, il rettangolo EBCH viene rimpiazzato da un rettangolo, DHFG, che ha area minore (DG ed EB sono uguali ma DH è inferiore a BC).

Un altro modo impiega il concetto di derivata:
indico con x una delle due dimensioni; l'altra, sommata a x, deve dare il semiperimetro, P/2, ossia deve essere uguale a P/2–x; l'area, quindi, è x(P/2–x) = (P/2)x–x²; È una funzione quadratica con coefficiente direttivo negativo (grafico: parabola con concavità verso il basso); assume il valore massimo dove la pendenza si annulla:
D_x(x(P/2–x)) = P/2–2x = 0 se x = P/4;
questa è la condizione per cui si ha l'area massima, ed equivale a quella che i lati siano tutti uguali.

La dimostrazione, semplice, col primo metodo, è opportuno che sia preceduta da un procedimento grafico, che consente di congetturare facilmente la soluzione, ma, volendo, anche di risolvere il problema. Ecco, sotto, i grafici di x → (P−x)·x e di x → P−x nel caso in cui il perimetro P sia di 10 unità; x rappresenta uno dei due lati. Dal primo intuisco che il valore massimo dell'area lo si ha quando il lato x sia lungo 5, e quindi anche l'altro lato sia lungo 5. Posso dimostrare la cosa calcolando il vertice della parabola. Eventualmente col secondo grafico, in cui visualizzo la relazione tra i due lati x ed y del rettangolo (tali che la loro somma sia 10: x+y = 10) posso rendere più concreto il primo ragionamento svolto all'inizio della soluzione di questo esercizio.

# Per chi è interessato, ecco come sono state fatte le figure con R (vedi):
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5
A = function(x) (P-x)*x
P = 10
graphF(A, 0,10, "blue")
POINT(5,25, "red")
PLANE(0,10, 0,10)
g = function(x) P-x
graph(g, 0,10, "brown")
segm(5,0, 5,5, "red"); segm(0,5, 5,5, "red")
POINT(5,5, "blue")

Sia P il perimetro. Intutivamente, pensando alla situazione limite in cui una delle due dimensioni diventa P/2 e l'altra 0, ossia, vedi figura a lato, in cui il rettangolo si riduce al segmento AK, è facile congetturare che la situazione di area massima sia quella in cui il rettangolo è un quadrato (entrambe le dimensioni uguali a P/4). La cosa può essere effettivamente dimostrata, in vari modi. Uno dei più semplici è il seguente:
se passiamo dal quadrato ABCD al rettangolo AEFG di egual perimetro, si ha DG = EB; infatti ciò che tolgo ad AB per arrivare ad AE deve essere compensato da quel che aggiungo ad AD arrivando ad AG; quindi, per quel che riguarda l'area, il rettangolo EBCH viene rimpiazzato da un rettangolo, DHFG, che ha area minore (DG ed EB sono uguali ma DH è inferiore a BC).
Un altro modo impiega il concetto di derivata: indico con x una delle due dimensioni; l'altra, sommata a x, deve dare il semiperimetro, P/2, ossia deve essere uguale a P/2–x; l'area, quindi, è x(P/2–x) = (P/2)x–x²; È una funzione quadratica con coefficiente direttivo negativo (grafico: parabola con concavità verso il basso); assume il valore massimo dove la pendenza si annulla: D_x(x(P/2–x)) = P/2–2x = 0 se x = P/4; questa è la condizione per cui si ha l'area massima, ed equivale a quella che i lati siano tutti uguali.