Sia f(x) = sin(3x) se x < 0, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d  altrimenti. Si vogliono determinare a, b, c, d in modo tale che f sia derivabile in tutto il suo dominio e abbia il grafico a lato, dove nel punto evidenziato la funzione ha un minimo relativo. (a) Si dimostri che è possibile farlo, e che c'è un'unica soluzione, e la si individui. (b) Si completi lo studio della funzione f così individuata.

f è derivabile e continua in R-{0} = (-∞,0) U (0,∞). Affinché la funzione sia derivabile in R occorre, innanzi tutto, che sia continua in 0, per la qual cosa basta che lim _x→0- sin(3x), ossia sin(3·0) = 0, sia uguale a f(0) = d.  d = 0 è la condizione che ci assicura la continità.
Affinché sia derivabile in 0, a questo punto, basta imporre che lim _x→0- f '(x) = lim _x→0+ f '(x), ossia che 3 = lim _x→0- cos(3x)·3 = lim _x→0+ 3ax²+2bx+c = c.  c = 3 è l'ulteriore condizione che ci assicura la derivabilità.
Affinché il grafico passi per (3,1) e ivi vi sia un minimo, occorre che f(3)=1, ossia che a·3³+b·3²+3·3 = 1, e che f '(3) = 0, ossia che 3a·3²+2b·3+3 = 0.
Le nostre condizioni sono, dunque, d=0, c=3, 27a+9b+9=1, 27a+6b+3=0. Le ultime due (sottraendo membro a membro dal primo termine il secondo) equivalgono a 3b+6=1 & 27a=-6b-3, ossia a b = -5/3 & a = (10-3)/27 = 7/27.  Dunque la nostra funzione è:
f(x) = sin(3x) se x < 0, f(x) = 7/27x³ - 5x²/3 + 3x  altrimenti.
La funzione, oltre al minimo relativo in 3, ha minimi assoluti in corrispondenza dei minimi di sin(3x) per x<0, ossia quando sin(3x)=-1, ossia quando 3x=-π/2, ossia x=-π/6, e per tutti gli altri valori ottenuti da questo sottraendo una o più volte il periodo, che è 2π/3.
f(x) per x → ∞ tende a ∞, quindi non vi sono massimi assoluti.
Vi sono massimi relativi in corrispondenza dei massimi relativi di sin(3x): sin(3x)=1 per 3x=-3π/2, ossia x=-π/2, e per tutti gli altri valori ottenuti da questo sottraendo una o più volte 2π/3.
Un altro massimo relativo lo si ha per l'altro x positivo in cui si anulla  D_x(7/27x³ - 5x²/3 + 3x) = (7x² - 30x + 27)/9,  che, risolvendo l'equazione, si trova essere 9/7.

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