Data f definita in R nel modo seguente, stabilire dove è crescente, dove è continua e dove è derivabile:
f(x) = x se x < 1, f(x) = x2 se x sta in [1, 4], f(x) = 8√x altrimenti.
f è crescente sia in (-∞,1) che in [1,4] e in (4,∞) avendo, in ciascuno di questi intervalli, l'espressione di una funzione che è in essi crescente.
lim x → 1- f(x) = lim x → 1- x = 1; f(1) = 12 = 1, quindi f è continua in (-∞,4).
f(4) = 42 = 16, lim x → 4- f(x) = lim x → 4- 8√x = 16, quindi f è continua in R.
Esistono le derivate da destra e da sinistra in ciascuno dei due punti in cui f cambia espressione,
quindi, per verificare se la funzione è in essi derivabile, possiano verificare se i limiti da destra e da sinistra
delle derivate della funzione in ciascuno di essi coincidono (
derivata e differenziale neGli Oggetti Matematici).
.
lim x → 1- f '(x) = lim x → 1 1 = 1;
lim x → 1+ f '(x) = lim x → 1 2x = 2; quindi in 1 la funzione non è derivabile.
lim x → 4- f '(x) = lim x → 4 2x = 8;
lim x → 4+ f '(x) = lim x → 4 4/√x = 2; quindi in 4 la funzione non è derivabile.
Il grafico, tracciato facilmente col software online WolframAlpha, conferma le nostre conclusioni:
# Grafici con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") BF=4.5; HF=3.5 f1 = function(x) x; f2 = function(x) x^2; f3 = function(x) 8*sqrt(x) f = function(x) ifelse(x < 1, f1(x), ifelse(x<=4, f2(x), f3(x)) ) graph1F(f, -2,6, "brown") # graphF(f, -2,6, "brown") coldash="red"; graph(f1, -2,6, 0) coldash="blue"; graph(f2, -2,6, 0) coldash="seagreen"; graph(f3, 0,6, 0) graph(f, -2,6, "brown")