Data f definita in R nel modo seguente, stabilire dove è crescente, dove è continua e dove è derivabile:
f(x) = x se x < 1, f(x) = x2 se x sta in [1, 4], f(x) = 8√x altrimenti.

f è crescente sia in (-∞,1) che in [1,4] e in (4,∞) avendo, in ciascuno di questi intervalli, l'espressione di una funzione che è in essi crescente.

lim x → 1- f(x) = lim x → 1- x = 1; f(1) = 12 = 1, quindi f è continua in (-∞,4).

f(4) = 42 = 16, lim x → 4- f(x) = lim x → 4- 8√x = 16, quindi f è continua in R.

Esistono le derivate da destra e da sinistra in ciascuno dei due punti in cui f cambia espressione, quindi, per verificare se la funzione è in essi derivabile, possiano verificare se i limiti da destra e da sinistra delle derivate della funzione in ciascuno di essi coincidono ( derivata e differenziale neGli Oggetti Matematici). .
lim x → 1- f '(x) = lim x → 1 1 = 1; lim x → 1+ f '(x) = lim x → 1 2x = 2; quindi in 1 la funzione non è derivabile.
lim x → 4- f '(x) = lim x → 4 2x = 8; lim x → 4+ f '(x) = lim x → 4 4/√x = 2; quindi in 4 la funzione non è derivabile.

Il grafico, tracciato facilmente col software online WolframAlpha, conferma le nostre conclusioni:

plot piecewise [{ {x, x < 1}, { x^2, 1 <= x<= 4}, {8*sqrt(x), 4 <x} }], x=0..4.5

Se voglio vedere meglio intorno a x=1 cambio l'intervallo delle x:
plot piecewise [{ {x, x < 1}, { x^2, 1 <= x<= 4}, {8*sqrt(x), 4 <x} }], x=0..1.5

 
# Grafici con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4.5; HF=3.5
f1 = function(x) x; f2 = function(x) x^2; f3 = function(x) 8*sqrt(x)
f = function(x) ifelse(x < 1, f1(x), ifelse(x<=4, f2(x), f3(x)) )
graph1F(f, -2,6, "brown")
#
graphF(f, -2,6, "brown")
coldash="red"; graph(f1, -2,6, 0)
coldash="blue"; graph(f2, -2,6, 0)
coldash="seagreen"; graph(f3, 0,6, 0)
graph(f, -2,6, "brown")