Sia k(x) =  sin(x) − 1     Determinare il dominio di k, gli zeri, gli eventuali punti di massimo e di minimo, gli intervalli in cui cresce e quelli in cui decresce.
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cos(x) − 1

k può essere scritta anche x → (1-sin(x))/(1-cos(x)).  k(x) ≥ 0 per ogni x∈Dom(k).  Dom(k) è {x∈R / cos(x) ≠ 1} = R−{2nπ / n ∈ Z}.  Se n∈Z, per x → 2nπ  k(x) → "1/0+" = ∞k(x) = 0 quando sin(x) = 1, ossia per x = π/2 + 2kπ al variare di k in Z.  Ecco che le conferme col computer, ad esempio col software online WolfranAlpha:

plot (sin(x)-1)/(cos(x)-1), x=-2*PI..2*PI

y = (sin(x)-1) / (cos(x)-1)

Dai grafici si ha anche che la funzione, in ciascun intervallo (2kπ, 2(k+1)π), decresce strettamente a sinistra di π/2+2kπ e cresce strettamente a destra. La cosa è facilmente verificabile con i calcoli (per calcoli analoghi vedi):
D(k)(x) = (1−sin(x)cos(x)) / (cos(x)−1)2.
sin(x)+cos(x) = 1 quando x=0 (sin(x)=0 e cos(x)=1) e quando x=π/2 (sin(x)=1 e cos(x)=0)
D(k)(x) = 0 quando x=π/2 (e in tutti i valori ottenuti aggiungendo o togliendo multipli di 2kπ).
   


# Col programma R - vedi
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
K = function(x) (sin(x)-1)/(cos(x)-1)
BF=4; HF=3
Planeww(-3*pi,3*pi, 0,20)
gridVC(seq(-3*pi,3*pi,pi/4), "brown")
gridHC(seq(0,20,1), "brown")
GridVC(seq(-3*pi,3*pi,pi), "brown")
GridHC(seq(0,20,5), "brown")
abline(h=0, col="black"); abline(v=0, col="black")
graph2(K,-3*pi,3*pi, "blue")
underX(c("-2pi","2pi"),pi*2*c(-1,1))
underX(0,0)
underY(c(0,5,10,15,20),c(0,5,10,15,20))
x = minmax(K, 0.1,pi); x
# 1.570796
POINT(c(x-2*pi,x,x+2*pi),c(0,0,0),"red")
# intuisco che x  pi/2; verifica:
x/pi
# 0.5