Le curve  y = x² + A·x + B  e  y = x³ + C·x  del piano  x, y  passano attraverso il punto (1,2) ed hanno la stessa tangente in esso.  Quanto valgono A, B e C?

Siano F(x) = x² + A·x + B, G(x) = x³ + C·x.
F'(x) = 2·x + A, G'(x) = 3·x² + C.
Impongo che F(1) = G(1) = 2  (le curve devono passare per il punto di ascissa 1 e ordinata 2)  e che F'(1) = G'(1)  (le due curve devono avere la stessa tangente nel punto di ascissa 1).

1+A+B = 1+C = 2, 2+A = 3+C
C = 1, A+B = 1, A = 2
A = 2, B = -1, C = 1

Verifichiamo quanto trovato tracciando i grafici col computer (qui si è usato R).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # da inserire se non è già stato fatto
BF=4; HF=3                                # se vuoi cambia dimensioni della fin.
f=function(x) x^2+A*x+B; g=function(x) x^3+C*x
A=2; B=-1; C=1
Plane(-1.5,2, -3,5); POINT(1,2, "red")
graph1(f, -2,3, "blue"); graph1(g, -2,3, "brown")

Per altri commenti: derivata e differenziale neGli Oggetti Matematici.