La figura sottostante rappresenta, parzialmente, i grafici di due funzioni reali di variabile reale:  f continua in (−∞, ∞) e tale che f([−1, 1.5]) = {1/2},  g continua in (−∞, ∞)−{1/2} e tale che g(1/2) = 1.

(1)  Si traccino approssimativamente, restringendo il dominio a [−1, 1.5], i grafici delle funzioni x → f(g(x)) e x → g(f(x)), e si specifichi se in tale dominio sono continue. (2)  Si stabilisca se esistono, ed eventualmente quali sono, i limiti di g(x) per x → 1/2 e di f(x) e di g(f(x)) per x → 1. (3)  Questi esempi suggeriscono alcune attenzioni da prestare affrontando limiti del tipo lim x→a g(f(x)). Quali?

(1) Sotto sono tracciati i grafici sia di f(g(.)) che di g(f(.)). f(g(.)) è continua in tutto R (nonostante che g non lo sia) e quindi lo è anche la sua restrizione a [−1, 1.5];  g(f(.)) è continua se ristretta al dominio [−1, 1.5], non lo è se si prende come dominio un qualunque intervallo contenenete strettamente [−1, 1.5].

(2) 1/2 e 1 sono interni all'intervallo [−1,1.5] in cui sia f che g(f(.)) sono continue, quindi per x → 1 f(x) → f(1) = 1/2, per x → 1 g(f(x)) → g(f(1)) = 1. Per x → 1/2 g(x) → 1.5.

(3) lim x→1 g(f(x)) = 1 nonostante che lim x→1 f(x) = 1/2 e lim y→1/2 g(y) = 1.5 ≠ 1. Non è quindi detto che lim x→a g(f(x)) sia uguale a L se lim x→a f(x) = M e lim y→M g(y) = L quando g non è continua in M.

I grafici con WolframAlpha:
plot piecewise[{ {-x-0.5, x <= -1}, { 1/2, -1 < x <= 1.5 }, {-x+2, 1.5 < x} } ], x = -1.5 .. 2, y = 0 .. 2
plot piecewise[ { {x+1, x < 0.48}, {x+1, 0.52 < x < 2}, {1, 0.48 < x < 0.52 } } ], x = -1.5 .. 2, y = 0 .. 2

# Come sono stati fatti i grafici con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.7; HF=1.8
f = function(x) ifelse(x < -1,-x-1/2, ifelse(x < 1.5,1/2,-x+2) )
Plane(-1.5,2, -0.1,2)
graph2(f, -3,3, "brown")
POINT(1,f(1), "brown")
text(0.75,1.25,"f")
#
g = function(x) ifelse(x == 1/2,1,x+1)
Plane(-1.5,2, -0.1,2)
graph2(g, -3,3, "brown")
POINT(0.5,g(0.5), "brown")
pointO(0.5,1.5,"brown")
text(-0.75,1.25,"g")
#
Plane(-1.5,2, -1.1,1)
fg = function(x) f(g(x))
graph2(fg,-3,3, "brown")
text(-0.5,-0.75,"f(g(.))")
#
Plane(-1.5,2, -0.1,2)
gf = function(x) g(f(x))
graph2(gf,-3,3, "brown")
text(0.5,1.75,"g(f(.))")