| (1) 4 sin(3α) = 0 equivale a sin(3α) = 0 che è vera quando 3α è una direzione orizzontale, ossia quando 3α è π o -π o altri valori ottenuti aggiungendo o togliendo una o più volte 2π (1 giro), ossia quando 3α = kπ per un qualunque k intero, ossia quando α = kπ/3 per un qualunque k intero. |
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(2) sin(α)=cos(α) quando la direzione α ha pendenza 1, ossia quando α=π/4 o α=π/4+π o α ha un valore ottenuto da questi aggiungendo o togliendo una o più volte 2π, ossia quando α = π/4+kπ per un qualunque k intero. Potevo arrivare a questa conclusione anche osservando i grafici di sin e cos: i due grafici sono simmetrici rispetto alle rette verticali che passano per i punti in cui si intersecano, quindi questi stanno a metà strada tra i punti vicini in cui seno e coseno valgono 1 o in cui valgono -1; tra 0 e π/2 a metà c'è π/4; tra π e π+π/2 a metà c'è π+π/4; quindi …
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| (3) sin(2α)=sin(α) solo nel caso in cui α sia una direzione orizzontale, ossia α sia un multiplo di π. La cosa è confermata dai grafici: y = 2 sin(x) è una curva dilatata verticalmente rispetto a y = sin(x) mentre y = sin(2x) è contratta orizzontalmente di fattore 1/2; quindi hanno l'andamento tracciato sopra e si intersecano quando x è un multiplo di π. Quindi la disequazione è vera in tutti gli intervalli (kπ, π+kπ) con k numero intero.
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| (4) sin(α)cos(α)=0 equivale a sin(α)=0 OR cos(α)=0, quindi l'equazione è vera quando α è una direzione verticale od orizzontale, ossia quando α=kπ/2 con k intero. La cosa è confermata pensando che sin(2α)=2sin(α)cos(α) e che sin(2α) si azzera quando 2α = kπ con k intero, ossia quando α=kπ/2 con k intero.
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| (5) tan(α)cos(α) = sin(α)/cos(α)·cos(α); cos(α)/cos(α) equivale a 1 quando cos(α)≠0, ossia quando α non è una direzione verticale. Quindi l'equazione è vera per ogni α che non sia del tipo π/2+kπ con k intero, ossia quando è definito il termine tan(α). Nel suo dominio questa equazione è vera (anche se i due membri non sono algebricamente equivalenti).
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| (6) tan(α) è l'ordinata dell'intersezione con x=1 della retta diretta come α e passante per l'origine, mentre sin(α) è l'ordinata della sua intersezione col cerchio x2+y2=1. Quindi tan(α) ≥ sin(α) quando 0 ≤ α < π/2, e nelle direzioni opposte. Quindi la disequazione è vera per α appartenente agli intervalli [2kπ,π/2+2kπ) al variare di k tra i numeri interi. La cosa è confermata dai grafici: y = tan(x) sta sopra o tocca y=sin(x) in [0,π/2) e in tutti gli altri intervalli ottenuti traslando questo per multipli (positivi o negativi) di 2π.
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