Confrontare per x → ∞ i seguenti infiniti:
1 + x√x x + x2sin(x)2/3 x + x2cos(x)2/3 x·arctan(x) 3√x 

Siano A, B, C, D ed E le funzioni che ad x associano rispettivamente:
1 + x√x x + x2sin(x)2/3 x + x2cos(x)2/3 x·arctan(x) 3√x 
Per x → ∞:
1+x√x ≈ x√x = x3/2,
x·arctan(x) ≈ π/2x in quanto arctan(x) → π/2,
3√x = x1/3,
quindi A(x) è d'ordine superiore rispetto a D(x) che è d'ordine superiore rispetto ad E(x).
  Dato che le funzioni seno e coseno hanno valori che oscillano nell'intervallo [-1,1], i loro quadrati oscillano in [0,1] e, quindi, B(x) e C(x) oscillano entrambi tra x e x+x2/3 ≈ x2/3.
  Dunque B(x) e C(x) sono d'ordine superiore rispetto ad E(x), ma non sono confrontabili con A(x) e D(x).
  Non sono neanche confrontabili tra di loro, infatti il rapporto B(x)/C(x) equivale a (1+x·sin(x)2)/(1+x·cos(x)2) che tende a ∞ per x = π/2+nπ → ∞ e tende a 0 per x = nπ → ∞ (n numero intero):
(1+x·sin(π/2+nπ)2)/(1+x·cos(π/2+nπ)2) = (1+x·1)/(1+x·0) = 1+x → ∞
(1+x·sin(nπ)2)/(1+x·cos(nπ)2) = (1+x·0)/(1+x·1) = 1/(1+x) → 0

Ecco i grafici ottenuti con questo script:


A: orange
B: blue
C: green
D: red
E: magenta

Ecco i comandi per ottenere i grafici con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # da inserire se non Ŕ giÓ stato fatto
BF=5; HF=4                                # se vuoi cambia dimensioni della fin.
fA = function(x) 1+x*sqrt(x); fB = function(x) x+x^2*sin(x)^2/3
fC = function(x) x+x^2*cos(x)^2/3; fD = function(x) x*atan(x)
fE = function(x) sign(x)*abs(x)^(1/3)
Plane(-3,15, -3,30)
graph1(fA,-3,15, "red")
graph1(fB,-3,15, "brown")
graph1(fC,-3,15, "seagreen")
graph1(fD,-3,15, "blue")
graph1(fE,-3,15, "magenta")
H = function(x) x+x^2/3; K = function(x) x
coldash="black"; graph1(H,-3,15, 0); graph1(K,-3,15, 0)