Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di sin(x)-x per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che  sin(x) ≈ x per x → 0, ovvero che sin(x) = x + o(x).
Cerco k·x^α tale che sin(x)-x ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui sin(x)-x tende a 0:
F(X) = SIN(x)-x
F(0.1) = -0.0001665833531718508
F(0.01) = -1.66665833335744E-7
F(0.001) = -1.666666583390042E-10
Posso congetturare che F(x) tende a 0 come x^3. Confronto F(x) con x^3:
G(x) = x^3/F(x)
G(0.1) = -6.00300078584911
G(0.01) = -6.000030000063216
G(0.001) = -6.000000299795865
Posso congetturare che F(x) ≈ -1/6·x³, ovvero che sin(x) = x - x³/6 + o(x³).

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(sin(x)-x)/D(x^3) = (cos(x)-1)/(3x^2); D(cos(x)-1)/D(3x^2) = -sin(x)/(6x) → -1/6]

  Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.

I calcoli con questa calcolatrice

sin(M)-M
M = 1e-1 ->  -0.0001665833531718508  (4 after units) 
M = 1e-2 ->  -1.6666583333574403e-7  (7 after units) 
M = 1e-3 ->  -1.6666665833900418e-10  (10 after units) 
M = 1e-4 ->  -1.6666666148319048e-13  (13 after units)
  Quindi F(x) tende a 0 come x^3
pow(M,3) / ( sin(M)-M )
M = 1e-1 ->  -6.00300078584911  
M = 1e-2 ->  -6.00300078584911  
M = 1e-3 ->  -6.000030000063216  
  Quindi x^3/F(x) tende a -6, ovvero F(x) ≈ -1/6*x^3 per x che tende a 0

I calcoli fatti con R:

f <- function(x) sin(x)-x     # calcolo f(10^-1),f(10^-2),...
f(10^-(1:5))
# -1.665834e-04 -1.666658e-07 -1.666667e-10 -1.666667e-13 -1.666673e-16
g <- function(x) x^3/f(x)
g(10^-(1:5))     # calcolo g(10^-1),g(10^-2),...
# -6.003001 -6.000030 -6.000000 -6.000000 -5.999978