Trova eventuali minimo, massimo, estremo inferiore ed estremo superiore dell'insieme di tutti
i numeri della forma
Proviamo ad effettuare i calcoli con questa calcolatrice
pow(1+1/M,M) M = 1 -> 2 M = 1e1 -> 2.5937424601000023 M = 1e2 -> 2.7048138294215285 M = 1e3 -> 2.7169239322355936 M = 1e4 -> 2.7181459268249255 M = 1e5 -> 2.7182682371922975 M = 1e6 -> 2.7182804690957534 M = 1e7 -> 2.7182816941320818 M = 1e8 -> 2.7182817983473577 M = 1e9 -> 2.7182820532347876 M= 1e10 -> 2.7182820520115603 M= 1e11 -> 2.71828205335711 M= 1e12 -> 2.7185234960372378 M= 1e13 -> 2.716110034086901 M= 1e14 -> 2.716110034087023 M= 1e15 -> 3.035035206549262 M= 1e16 -> 1 |
Per un po' (1+1/n)^n cresce al crescere di n con una certa regolarità, poi si stabilizza su 1.
La spiegazione di questo ultimo fatto è semplice: Dalle uscite, comunque, capiamo che (1+1/n)^n cresce all'aumentare di n e, per Osserviamo che possiamo riscrivere (1+1/n)^n nella forma (1+x)^(1/x) avendo indicato con x il numero reale 1/n. A questo punto ricordo che |
Dato che la successione cresce abbiamo che e è l'estremo superiore, ma non il massimo. Il minimo (ed estremo inferiore)
è invece il valore che la successione assume in 1, ossia 2
Con la calcoltrice posso ottenere una buona approssimazione di e:
exp(1) = 2.718281828459045
Potrei effettuare il calcolo preciso quanto voglio dei termini della successione con WolframAlpa:
(1+1/n)^n if n=1e9
2.7182818270999043223766440238603328628250131640896185940693854669...
Con la nostra calcolatrice potrei valutare anche di quanto varia un'uscita rispetto alla precedente:
pow(1+1/M,M) - pow(1+1/(M/10),M/10)
M = 1e3 -> 0.012110102814065105 (2 after units)
M = 1e4 -> 0.0012219945893319206 (3 after units)
M = 1e5 -> 0.00012231036737198053 (4 after units)
M = 1e6 -> 0.000012231903455894866 (5 after units)
M = 1e7 -> 0.0000012250363283783372 (6 after units)
M = 1e8 -> 1.042152759644921e-7 (7 after units)
M = 1e9 -> 2.5366420253192246e-7 (7 after units)
capendo che fino a n = 1e8 le uscite variano con una certa regolarità e assumere l'arrotondamento
2.7182818, ottenibile da pow(1+1/M,M) per M = 1e8.
Il calcolo con il
programma R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(n) (1+1/n)^n
for(n in 1:17) more( f(10^n) )
Potevo tovare stime più precise avanzando pił lentamente (con potenze di 2) e studiando le variazioni tra le uscite. Il calcolo effettuato con R:
L1=0;L2=0; for(n in 20:30) {x=2^n; cat(n,'\t',f(x),'\t',L2/(f(x)-L1),'\n'); L2=f(x)-L1;L1=f(x)} # 20 2.718281 0 # 21 2.718281 4194308 # 22 2.718282 1.999998 # 23 2.718282 2.000002 # 24 2.718282 1.999998 # 25 2.718282 2.000004 # 26 2.718282 1.999996 # 27 2.718282 2.000007 # 28 2.718282 1.999992 # 29 2.718282 2.000016 # 30 2.718282 1.999985 # converge e il rapporto tra due successive uscite tende a essere 2. Andiamo avanti: L1=0;L2=0; for(n in 40:55) {x=2^n; cat(n,'\t',f(x),'\t',L2/(f(x)-L1),'\n'); L2=f(x)-L1;L1=f(x)} # 40 2.718282 0 # 41 2.718282 4.397289e+12 # 42 2.718282 2.002878 # 43 2.718282 1.997126 # 44 2.718282 2 # 45 2.718282 2 # 46 2.718282 1.977273 # 47 2.718282 2 # 48 2.718282 2.2 # 49 2.718282 1.666667 # 50 2.718282 2 # 51 2.718282 3 # 52 2.718282 1 # 53 1 -2.584496e-16 # 54 1 -Inf # 55 1 NaN # Posso prendere come accettabile il valore per x = 2^52 more(f(2^52)) # 2.71828182845905 confrontiamolo con l'approssimazione corretta: more(exp(1)) # 2.71828182845905 OK