Trova eventuali minimo, massimo, estremo inferiore ed estremo superiore dell'insieme di tutti i numeri della forma (1 + 1/n)n al variare di n tra i numeri interi positivi.

Proviamo ad effettuare i calcoli con questa calcolatrice

pow(1+1/M,M)
M = 1   ->  2
M = 1e1 ->  2.5937424601000023
M = 1e2 ->  2.7048138294215285
M = 1e3 ->  2.7169239322355936  
M = 1e4 ->  2.7181459268249255
M = 1e5 ->  2.7182682371922975
M = 1e6 ->  2.7182804690957534
M = 1e7 ->  2.7182816941320818
M = 1e8 ->  2.7182817983473577
M = 1e9 ->  2.7182820532347876
M= 1e10 ->  2.7182820520115603
M= 1e11 ->  2.71828205335711 
M= 1e12 ->  2.7185234960372378
M= 1e13 ->  2.716110034086901 
M= 1e14 ->  2.716110034087023 
M= 1e15 ->  3.035035206549262
M= 1e16 ->  1
    Per un po' (1+1/n)^n cresce al crescere di n con una certa regolarità, poi si stabilizza su 1. La spiegazione di questo ultimo fatto è semplice: 1+1/n ad un certo punto, per la calcolatrice, diventa 1 in quanto il valore di "1/n" va ad incidere su una cifra troppo lontana dal posto in cui cade la cifra inziale (ed unica) di "1" ( calcolatore - 6).
    Dalle uscite, comunque, capiamo che (1+1/n)^n cresce all'aumentare di n e, per n → ∞, tende a stabilizzarsi su un numero arrotondabile a 2.718282.  Capiamo, anche, che questo numero è uguale ad e ( funz. esponenz. e log.). Proviamo a dimostrare tutte e queste cose.
    Osserviamo che possiamo riscrivere (1+1/n)^n nella forma (1+x)^(1/x) avendo indicato con x il numero reale 1/n.  A questo punto ricordo che (1+x)^(1/x) → e per x → 0 ( animazione) e quindi, poiché 1/n → 0 per n → ∞, deduco che il nostro limite è proprio e.

    Dato che la successione cresce abbiamo che e è l'estremo superiore, ma non il massimo. Il minimo (ed estremo inferiore) è invece il valore che la successione assume in 1, ossia 2 ( distanza tra figure).

Con la calcoltrice posso ottenere una buona approssimazione di e:
exp(1) = 2.718281828459045
Potrei effettuare il calcolo preciso quanto voglio dei termini della successione con WolframAlpa:
(1+1/n)^n if n=1e9
2.7182818270999043223766440238603328628250131640896185940693854669...


Con la nostra calcolatrice potrei valutare anche di quanto varia un'uscita rispetto alla precedente:
pow(1+1/M,M) - pow(1+1/(M/10),M/10)
M = 1e3 -> 0.012110102814065105     (2 after units)
M = 1e4 -> 0.0012219945893319206    (3 after units)
M = 1e5 -> 0.00012231036737198053   (4 after units)
M = 1e6 -> 0.000012231903455894866  (5 after units)
M = 1e7 -> 0.0000012250363283783372 (6 after units)
M = 1e8 -> 1.042152759644921e-7     (7 after units)
M = 1e9 -> 2.5366420253192246e-7    (7 after units)

capendo che fino a n = 1e8 le uscite variano con una certa regolarità e assumere l'arrotondamento 2.7182818, ottenibile da pow(1+1/M,M) per M = 1e8.



Il calcolo con il programma R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(n) (1+1/n)^n
for(n in 1:17) more( f(10^n) )


Potevo tovare stime più precise avanzando pił lentamente (con potenze di 2) e studiando le variazioni tra le uscite. Il calcolo effettuato con R:

L1=0;L2=0; for(n in 20:30) {x=2^n; cat(n,'\t',f(x),'\t',L2/(f(x)-L1),'\n'); L2=f(x)-L1;L1=f(x)}
# 20       2.718281        0 
# 21       2.718281        4194308 
# 22       2.718282        1.999998 
# 23       2.718282        2.000002 
# 24       2.718282        1.999998 
# 25       2.718282        2.000004 
# 26       2.718282        1.999996 
# 27       2.718282        2.000007 
# 28       2.718282        1.999992 
# 29       2.718282        2.000016 
# 30       2.718282        1.999985
# converge e il rapporto tra due successive uscite tende a essere 2. Andiamo avanti:
L1=0;L2=0; for(n in 40:55) {x=2^n; cat(n,'\t',f(x),'\t',L2/(f(x)-L1),'\n'); L2=f(x)-L1;L1=f(x)}
# 40       2.718282        0 
# 41       2.718282        4.397289e+12 
# 42       2.718282        2.002878 
# 43       2.718282        1.997126 
# 44       2.718282        2 
# 45       2.718282        2 
# 46       2.718282        1.977273 
# 47       2.718282        2 
# 48       2.718282        2.2 
# 49       2.718282        1.666667 
# 50       2.718282        2 
# 51       2.718282        3 
# 52       2.718282        1 
# 53       1       -2.584496e-16 
# 54       1       -Inf 
# 55       1       NaN 
# Posso prendere come accettabile il valore per x = 2^52
more(f(2^52))
# 2.71828182845905    confrontiamolo con l'approssimazione corretta:
more(exp(1))
# 2.71828182845905    OK