Sia:   f(x) = sin(x/4) − 2 cos(x/2)
Determinare periodo e dominio di f, radici di f(x) = 0,  punti di massimo e di minimo assoluto e relativo.

Possiamo sicuramente dire che f è periodica in quanto somma di due funzioni periodiche che hanno periodi con rapporto razionale tra di loro (altrimenti non sarebbe perodica: vedi). Una ha periodo 2π·4 = 8π, l'altra ha periodo 2π·2 = 4π. Il periodo di f è 8π (=25.1…), e il suo dominio è R.    Prima di metterci a fare calcoli conviene tracciare il grafico.  Qui a destra quello realizzato con questo script.  Sotto la visualizzazione dei punti cercati.

I punti di massimo relativo sono circa (6,3) e (19,1) e i punti a destra e sinistra di questi distanti multipli di 8π. Quelli di minimo sono circa (-1,-2) e (13,-2) e quelli a destra e sinistra di questi distanti multipli di 8π. Le radici sono circa 2.5, 10, 17, 21 e i valori a destra e sinistra di questi distanti multipli di 8π.

Troviamo i valori con "esattezza". Punti di max e di min: f '(x) = cos(x/4)(1/4 + 2 sin(x/4)) = 0 ha soluzioni per: • x/4 = π/2 e x/4 = 3π/2, ossia x = 2π = 6.28… e x = 6π = 18.8…, dove si hanno i massimi, che valgono f(2π) = 3 e f(6π) = 1; • sin(x/4) = -1/8, ossia (vedi figura a fianco) x = asin(-1/8)*4 = -0.50131132... e x = (π-asin(-1/8))*4 = 13.06768193..., dove si hanno i minimi, che valgono f(asin(-1/8)*4) = -2.234482...; a questi punti vanno aggiunti quelli a destra e sinistra di questi distanti multipli di 8π. Gli zeri:  sin(x/4) − 2 cos(x/2) = 4 sin(x/4)2 + sin(x/4) − 2 si azzera per sin(x/4) = (±√33−1)/8, ovvero per x = 4 arcsin((±√33−1)/8), x = 4·(π-arcsin((±√33−1)/8)) e per tutti gli altri x che si ottengono aggiungendo multipli del periodo.

I valori dei punti di min e degli zeri possono essere trovati con questa calcolatrice.

Ascisse dei punti di min:  asin(-1/8)*4 = -0.5013113246722616,  (PI-asin(-1/8))*4 = 13.067681939031434.  Intersezioni con l'asse x:  4*asin((-sqrt(33)-1)/8) = -4.011867815465011,  4*asin((sqrt(33)-1)/8) = 2.5394674845342826,  4*(PI-asin((sqrt(33)-1)/8)) = 10.02690312982489,  4*(PI-asin((-sqrt(33)-1)/8)) = 16.578238429824182.

Calcoli e grafici potrebbero essere realizzati facilmente con WolframAlpha.

  Per altri commenti:  propr. delle funz. continue e derivabili neGli Oggetti Matematici.

Vediamo anche come col programma R posso tracciare il grafico di f e della sua derivata di f, e determinare i valori dei punti in cui si azzerano la funzione e la sua derivata.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f <- function(x) sin(x/4)-2*cos(x/2)
graficob(f, -20,25, "blue")
Df <- function(x) eval(D(body(f),"x"))
grafico(Df,-20,25, "red")
soluz(f,0, -5,-2)  # -4.011868
soluz(f,0,  0, 5)  # 2.539467
soluz(f,0,  9,11)  # 10.0269
soluz(f,0, 15,18)  # 16.57824
soluz(Df,0, -10,-5) # -6.283185
soluz(Df,0,  -5, 0) # -0.5013113
soluz(Df,0,  5, 10) # 6.283185
soluz(Df,0,  10,15) # 13.06768
soluz(Df,0,  15,20) # 18.84956
pi*2; pi*6                 # 6.283185   18.84956
x1 <- soluz(Df,0,  -10,-5); x2 <- soluz(Df,0, 15,20)
punto(x1,f(x1),"green")
punto(x2,f(x2),"green")
LInea(x1,f(x1), x2,f(x2), "red")