Sia f(x) =	x3cos(x) + k cos(x)
	————————
	(cos(x)+x) (sin(x)−x)

(A)  Calcolare, al variare di k, il limite di f(x) per x → 0.

(B)  Trovare sperimentalmente, nel caso k = 0, l'intervallo f(I) dove I = [2, 4], determinandone gli estremi arrotondati ai centesimi.

(A)  Per x → 0+  cos(x) → 1, sin(x)−x → 0−; quindi f(x) tende a "k/0−", ossia a ∞ se k < 0, a −∞ se k > 0.
Per x → 0−  sin(x)−x → 0+; quindi f(x) tende a −∞ se k < 0, a ∞ se k > 0.
Se k = 0 il limite è quello di x³/(sin(x)−x), che (vedi) tende a 1/(−1/6) = −6.

Posso controllare/confermare graficamente. Sotto due grafici realizzati con questo e questo script:

 
blu: k = 2,  verde: k = -2,  rosso; k = 0

(B). Sicuramente f(I) è un intervallo chiuso e limitato (vedi propr. delle funz. continue e derivabili neGli Oggetti Matematici). Questa parte può essere svolta tutta al computer, con questo script e questo script:

 

Dal primo grafico deduco che il minimo di f(I) è f(2), che posso calcolare ad esempio con questa calcolatrice:

pow(2,3)*cos(2)/((cos(2)+2)*(sin(2)-2)) = 1.9271491619619907

e poi arrotondare a 1.93.  Dal secondo grafico ricavo che il massimo di f(I) è 4.65.  Con WolframAlpha potrei trovarlo facilmente con più esattezza:

Grafici e calcoli fatti con R (vedi).

cambio scala:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=6; HF=3
Plane(-3,4, -8,8)
f = function(x) (x^3+K)*cos(x)/((cos(x)+x)*(sin(x)-x))
K = 0; graph1(f,-3,4, "brown")
K = 0.3; graph1(f,-3,4,"red")
K = -0.3; graph1(f,-3,4,"seagreen")
text(0.5,-2.5,"K=0",cex=0.8,col="brown")
text(1.5,-3.5,"K=0.3",cex=0.8,col="red")
text(0.33,0.8,"K=-0.3",cex=0.8,col="seagreen")
pointO(0,-6, "brown"); text(0.25,-6,"-6",cex=0.9,col="brown")
#
Plane(-1,1, -100,100)
K = 0; graph1(f,-3,4, "brown")
K = 0.3; graph1(f,-3,4,"red")
K = -0.3; graph1(f,-3,4,"seagreen")
# Da grafico e calcoli posso dedurre che se K=0 per x -> 0 f(x) -> -6 
K=0; for(N in 1:5) cat(10^-N, '\t', f(10^-N), '\n')
# 0.1      -5.454784 
# 0.01     -5.940621 
# 0.001    -5.994006 
# 1e-04    -5.9994 
# 1e-05    -5.999918
# Per K>0 o K<0 il limite da destra e da sinistra sono infiniti opposti
K=0.3; for(N in 2:4) cat(10^-N, '\t', f(10^-N), '\n')
# 0.01     -1782192 
# 0.001    -1798201893 
# 1e-04    -1.79982e+12 
K=0.3; for(N in 2:4) cat(-10^-N, '\t', f(-10^-N), '\n')
# -0.01    1818186 
# -0.001   1801801887 
# -1e-04   1.80018e+12 
K=-0.3; for(N in 2:4) cat(10^-N, '\t', f(10^-N), '\n')
# 0.01     1782180 
# 0.001    1798201881 
# 1e-04    1.79982e+12 
K=-0.3; for(N in 2:4) cat(-10^-N, '\t', f(-10^-N), '\n')
# -0.01    -1818198 
# -0.001   -1801801899 
# -1e-04   -1.80018e+12 

K=0; graph1F(f, 2,4, "brown")
x = maxmin(F, 2,4); c( x,f(x) ); more(c( x,f(x) ))
# 3.015674 4.652295
# 3.01567396687378 4.65229469036464
POINT(x,f(x), "blue"); POINT(2,f(2), "seagreen"); more(f(2))
# 1.92714916196199