Congettura sperimentalmente l'ordine di infinitesimo rispetto a x di sin(x)-tan(x) per x → 0, ossia cerca per quale α è dello stesso ordine di x^α.

Sappiamo che per x → 0  sin(x) ≈ x e che cos(x) → 1, dunque tan(x) = sin(x)/cos(x) ≈ x.
Del resto il grafico di tan in O ha il grafico di x → x come tangente.
Dunque sin(x)−tan(x) (che non è x−x = 0) va a 0 più velocemente di x.
Cerco dunque k·x^α tale che sin(x)-tan(x) ≈ k·x^α per x → 0
Studio la velocità con cui sin(x)-tan(x) tende a 0:
F <- function(x) sin(x)-tan(x); F(0.1); F(0.01); F(0.001)
# -0.0005012554 -5.000125e-07 -5.000001e-10
Posso congetturare che F(x) tende a 0 come x³.
Confronto F(x) con x³:
G <- function(x) F(x)/x^3; G(0.1); G(0.01); G(0.001)
# -0.5012554 -0.5000125 -0.5000001
Posso congetturare che F(x) ≈ -1/2·x³.

In alternativa, ricordando che sin(x) ≈ x−x³/6, potevo studiare analogamente come va a 0  tan(x)−x, trovare che tan(x)−x ≈ x³/3, ovvero che tan(x) ≈ x+x³/3, e dedurre che sin(x)−tan(x) ≈ −x³/2.

[la cosa può essere dimostrata ad es. mediante il teorema dell'Hopital:
D(tan(x)-x)/D(x^3) = (tan(x)^2)/(3x^2) → 1/3, ossia tan(x) ≈ x+x³/3]

Tutto può essere studiato facilmente online anche con questo script o con questa calcolatrice:

sin(M) - tan(M)
M = 1e-1 -> -0.0005012554386223944 (3 after units)   M = 1e-2 -> -5.00012500542768e-7    (6 after units) 
M = 1e-3 -> -5.000001250705932e-10 (9 after units)   M = 1e-4 -> -4.999999980020986e-13 (12 after units)
( sin(M) - tan(M) ) / pow(M,3)
M = 1e-1 -> -0.5012554386223943    M = 1e-2 -> -0.5000125005427679
M = 1e-3 -> -0.5000001250705932    M = 1e-4 -> -0.4999999980020985

  Per altri commenti: infiniti e infinitesimi (e propr. delle funz. continue e derivabili) neGli Oggetti Matematici.