(I)  A lato sono tracciati, parzialmente, i grafici di una funzione F e delle sue derivate prima e seconda. In che ordine? Quali sono i domini di F' e di F"?   (II)  Si determini una possibile espressione di F(x).
(I)  (1) La funzione rappresentata in A ha per derivata la funzione che a x associa due costanti diverse (6 e -6) a seconda che x sia minore o maggiore di 1, e che ha quindi per grafico l'unione di due semirette orizzontali, non figure come quelle in B e C. A non può quindi essere il grafico né di F né di F'. (2) B è il grafico di una funzione decrescente, la cui derivata è quindi minore o uguale a 0, e ha grafico che non supera l'asse x; da questo punto di vista A e C potrebbero andar bene. (3) C ha pendenza positiva per x<1, negativa per x>1; è grafico di una funzione che potrebbe avere derivata con grafico B, non A. (4) Per (1) A deve essere il grafico di F" e per (3) non può esserlo della derivata della funzione rappresentata in C; F' è quindi rappresentata in B, ed F ha C come grafico, cosa in accordo con quanto osservato in (2):       F - C,   F' - B,   F" - A. Sia F che F' e F" sono definte su tutto R, infatti F" (che ha per grafico A) è definta su R e quindi lo sono anche F' e F (altrimenti non potrebbe esserlo F").
(II)  È comodo affrontare la situazione "traslata" a sinistra di 1 (raffigurata a lato) in modo da semplificare i calcoli. Ossia considerare G tale che G(x) = F(x+1), trovare G e poi ottenere F come F(x) = G(x-1).     Dopo questa traslazione il grafico in A è la retta y=6x con la parte sopra all'asse x ribaltata rispetto ad esso, ossia G"(x)=|6x|.     Il grafico in B deve essere quello di una funzione polinomiale di 2° grado con la parte a destra dell'asse y ribaltata rispetto all'asse x. Sia essa x Ax2+Bx+C; imponiamo che passi per (0,0) e abbia x 6x come derivata:
C=0, 2Ax+B=6x, da cui C=0, B=0, A=3. Quindi G'(x) = 3x2 se x≤0, G'(x) = -3x2 altrimenti (e infatti Dx(3x2) = 6x).     Il grafico in C deve essere quello di una funzione polinomiale di 3° grado con la parte a destra dell'asse y ribaltata rispetto all'asse x. Sia essa x Ax3+Bx2+Cx+D; imponiamo che passi per (0,0) e abbia x 3x2 come derivata: D=0, 3Ax2+2Bx+C=3x2, da cui C=0, B=0, A=1. Quindi G(x) = x3 se x≤0, G(x) = -x3 altrimenti (e infatti Dx(x3) = 3x2). in breve: G(x) = -|x|3.     Quindi F(x) = -|x-1|3. •  Vi erano altri modi di affrontare il problema, ad es. senza "traslazione" e separando i casi: x ≤ 1 – il grafico (originale) in A è y = 6(x-1) [retta per (0,0) con pendenza 6 traslata con Δx=1]; – la funzione che vale 0 in 1 e ha x 6(x-1) (ossia x x-1 = t 6t) come derivata è x 3(x-1)2 (infatti Dt(3t2) = 6t, Dx(x-1) =1) [ovvero Dx(Ax2+Bx+C)=2Ax+B = 6x-6 solo se A=3 e B=-6; 3x2-6x+C vale 0 per x=1 solo se C=3, quindi la funzione è x 3x2-6x+3] – la funzione che vale 0 in 1 e ha x 3(x-1)2 come derivata è x (x-1)3 [ovvero Dx(Ax3+Bx2+Cx+D)=3Ax+2Bx+C = 3x2-6x+3 solo se A=1, B=-3 e C=3; x3-3x2+3x+D vale 0 per x=1 solo se D=-1, quindi la funzione è x x3-3x2+3x-1 = (x-1)3] – dunque F(x) = (x-1)3 per x≤1 x > 1 – il grafico (originale) in A è y = -6(x-1) [retta per (0,0) con pendenza -6 traslata con Δx=1]; – la funzione che vale 0 in 1 e ha x -6(x-1) come derivata è x -3(x-1)2 – la funzione che vale 0 in 1 e ha x -3(x-1)2 come derivata è x -(x-1)3 – dunque F(x) = -(x-1)3 per x>1 Volendo sintetizzare,  F(x) = -|x-1|3 Nota.  F è derivabile in 1 (come abbiamo visto in (I), F' ha R per dominio), nonostante che t |t| non sia derivabile in 0.

    I grafici sono fattibili facilmente con WolframAlpha:
plot -|x-1|^3, x=-1..3,y=-7..2
plot piecewise[{{3*(x-1)^2,x<=1}, {-3*(x-1)^2,x>1}}], x=-1..3,y=-7..2
plot piecewise[{{6*(x-1),x<=1}, {-6*(x-1),x>1}}], x=-1..3,y=-7..2

    I grafici con questo script online e con R:

   

# I grafici con R
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
F = function(x) -abs(x-1)^3
graph1(F,-2,4, "brown")
# to evaluate the derivative abs(u) needs to be replaced with sqrt(u^2)
F = function(x) -sqrt( (x-1)^2 )^3
graph1(F,-2,4, "brown")   # OK:  graph is =
G = function(x) eval(deriv(F,"x")); graph1(G,-2,4, "seagreen")
H = function(x) eval(deriv2(F,"x")); graph1(H,-2,4, "magenta")