Una palla viene lanciata da terra verticalmente fino a raggiungere una altezza h, cade e rimbalza fino ad h/2. Continua a rimbalzare raggiungendo ogni volta 1/2 dell'altezza raggiunta nel rimbalzo precedente. Al momento del primo rimbalzo la palla ha percorso verticalmente uno spazio S(1) = 2h, al 2° rimbalzo ha percorso in totale S(2) = 2h + 2h·1/2. Descrivi in modo opportuno la successione che ad N associa lo spazio verticale totalmente percorso dalla palla dopo N rimbalzi. Determina lim_{N → ∞} S(N).

S(0) = 0 (prima di essere lanciata la palla non ha percorso spazio). S(1) = 2h. Ad ogni rimbalzo il percorso aumenta di 1/2 rispetto a quanto è aumentato al rimbalzo precedente. Quindi S(2) = S(1)+1/2·2h = 2h+1/2·2h = 2h(1+1/2); S(3) = S(2)+1/2·1/2·2h = 2h(1+1/2+1/4) = 2h(1+1-1/4); …
S(N+1) = S(N)+2h·(1/2)^N = 2h · Σ_i=0…N(1/2)ⁱ = 2h · (2 - (1/2)^N)
lim_N→∞(1/2)^N = 0, quindi  lim_N→∞S(N) = lim_N→∞2h·(2-(1/2)^N) = 4h

La figura seguente evidenzia geometricamente il fatto che Σ_i=1…N(1/2)ⁱ → 1 per N→∞.

Nota. Il fatto che il valore di ∑ _i=0…N (1/2)ⁱ in base 2 sia 0.111…1 [con N "1"] spiega in altro modo il fatto che ∑ _i=0…N (1/2)ⁱ → 1: ∑ _i=0…N (1/2)ⁱ converge in base 2 al numero periodico 0.111…, che è uguale a 1.000….

  Per altri commenti: base di rappresentazione dei numeri neGli Oggetti Matematici.