Sia A la successione definita per induzione dalle equazioni A(0)=1, A(n+1) = (A(n)+9/A(n))/2. Si studi sperimentalmente (e si provi poi a congettuare e dimostrare) se esiste (ed eventualente quanto vale) limn → ∞ A(n).

Calcolando con una calcolatrice o con un altro mezzo di calcolo i valori di A(.) si ottengono, ad es. nel caso lo strumento approssimi a 16 cifre:
1, 5, 3.4, 3.023529411764706, 3.00009155413138, 3.000000001396984, 3, 3, …
Possiamo fare questi calcoli anche con lo script  grande calcolatrice  (vedi):

Metto (B+9/B)/2 nel box "giallo" e 1 nel box B e clicco [=] ripetutamente: 
(B+9/B)/2
1
(1+9/1)/2 = 5 
(5+9/5)/2 = 3.4
(3.4+9/3.4)/2 = 3.023529411764706
(3.023529411764706+9/3.023529411764706)/2 = 3.00009155413138
(3.00009155413138+9/3.00009155413138)/2 = 3.000000001396984
(3.000000001396984+9/3.000000001396984)/2 = 3
o con questo script.
Sembra che la successione, a partire dal secondo elemento, decresca e converga a 3 (che è la radice di 9). Proviamo a modificare la definizione con altri numeri al posto di 9. Ad es. con A(n+1) = (A(n)+0.25/A(n))/2 otteniamo:
1, 0.625, 0.5125, 0.5001524390243902, 0.5000000232305737, 0.5, 0.5, …: successione che decresce e che converge a 0.5 (che è la radice di 0.25).
Facendo altre prove sembra che si ottenga sempre la radice quadrata della costante inserita nella equazione ricorsiva. Soffermiamoci sul nostro caso. Iniziamo a dimostrare che la successione converge.
Basta che dimostriamo che, a partire dal secondo posto, è decrescente in senso lato; infatti, trattandosi di una successione a elementi positivi, è sicuramente limitata inferiormente, e quindi convergerebbe all'estremo inferiore dell'insieme dei suoi elementi successivi al secondo (vedi l'es. 6.13 per approfondimenti). Stabiliamo dunque se A(n+1) < A(n) è vera per n > 0; la relazione equivale a:

(A(n)+9/A(n))/2 ≤ A(n)  ossia [moltiplco per 2; 2>0; la relaz. si conserva] a:
A(n)+9/A(n) ≤ 2·A(n)  ossia [moltiplco per A(n); A(n)>0; la relaz. si conserva] a:
A(n)2+9 ≤ 2·A(n)2  ossia [sottraggo A(n)2; la relaz. si conserva] a:
9 < A(n)2  ossia [estraggo la radice quadrata; la relaz. si conserva] a:
3 ≤ A(n)

Questa relazione è vera per ogni n > 0, infatti, posto n=k+1:
A(k+1) = (A(k)+9/A(k))/2 ≥ 3 equivale a:
A(k)+9/A(k) ≥ 6 che equivale a:
A(k)2-6A(k)+9 ≥ 0, che è vera in quanto:
A(k)2-6A(k)+9 = (A(k)-3)2

Dunque la successione converge. Sia L il suo limite. Quindi da A(n+1)=(A(n)+9/A(n))/2, dato che A(n+1) → L e (A(n)+9/A(n))/2 → (L+9/L)/2, dobbiamo avere L=(L+9/L)/2, ossia 2L=L+9/L, ossia L=9/L, ossia L2=9, ossia (dovendo essere L≥ 0 essendo la successione a termini positivi) L = √9.

Per capire meglio (e controllare i calcoli) è sempre utile, quando è possibile, fare anche (o eventualmente partire da) qualche considerazione grafica. Dai grafici di x → x (retta per (0,0) e per (1,1)) e di x → 9/x (iperbole simmetrica rispetto a y=x passante per (3,3) e, per simmetria, ivi perpendicolare a y=x) si può schizzare il grafico di x → (x+9/x)/2 (semisomma delle due funzioni precedenti), che decresce arrivando a (3,3) da sinistra (la pendenza di y=x è minore di quella di y=-9/x) e cresce arrivandovi da destra (la pendenza di y=x è maggiore di quella di y=-9/x).
L'andamento del grafico di x → (x+9/x)/2 ci conferma lo studio algebrico dell'andamento di A(n) fatto sopra, e ci consente di capire meglio la convergenza a 3:

Il procedimento con cui abbiamo studiato la nostra successione si potrebbe applicare con ovvi cambiamenti a qualunque altra successione del tipo:
  A(0)=1, A(n+1) = (A(n) + k/A(n)) / 2, con k > 0
per dimostrare che essa convege a √k.
    Questo è dunque un efficientissimo algoritmo per calcolare la radice quadrata di un numero. Esso risale agli antichi babilonesi e ha come idea originale la seguente osservazione: se A è una approssimazione per eccesso [difetto] di √k allora k/A ne è una approssimazione per difetto [eccesso] (da A > √k segue che k/A < √k), e quindi come migliore approssimazione si può prendere la media artitmetica, (A+k/A)/2, di tali approssimazioni.

Ecco l'implementazione dell'algortimo in R (per il calcolo di √3, √4, …): 

A = 3; x = 1; for (i in 1:8) {x = (x+A/x)/2; print(x)}
# 2 1.75 1.732143 1.732051 1.732051 1.732051 1.732051 1.732051
A = 4; x = 1; for (i in 1:8) {x = (x+A/x)/2; print(x)}
# 2.5 2.05 2.00061 2 2 2 2 2
A = 9; x = 1; for (i in 1:8) {x = (x+A/x)/2; print(x)}
# 5 3.4 3.023529 3.000092 3 3 3 3
A = 100; x = 1; for (i in 1:8) {x = (x+A/x)/2; print(x)}
# 50.5 26.2401 15.02553 10.84043 10.03258 10.00005 10 10
#
# Ecco come è stato realizzato il grafico precedente:
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=5; HF=5; PLANE(0,5, 0,5)
f = function(x) 9/x; h = function(x) x; g = function(x) (x+9/x)/2
coldash = "brown"; graph(f,0,5, 0)
coldash = "blue";  graph(g,0,5, 0)
coldash = "red";   graph(h,0,5, 0)
x = 1;  polyline(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),"black")
x=g(x); polyline(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),"seagreen")
x=g(x); polyline(c(x,x,g(x)),c(x,g(x),g(x)),"orange")
# ecc.