Stabilire se esistono, ed eventualmente quali sono, i limiti per n → ∞ di  2^-F(n), F(n)+G(n), F(n)-G(n), F(n)·G(n), F(n) / G(n), √F(n) / G(n)  dove F e G sono le successioni:
F: n → 3n²+(-1)⁽ⁿ³⁾-√(n³),  G: n → 3n²-(-1)⁽ⁿ³⁾-√(n³).

Per n pari F(n) = 3n² - n^3/2 + 1, per n dispari F(n) = 3n² - n^3/2 - 1.
3n² - n^3/2 - 1 ≤ F(n) ≤ 3n² - n^3/2 + 1.
n²(3 - 1/n^1/2 - 1/n²) ≤ F(n) ≤ n²(3 - 1/n^1/2 + 1/n²)
n^1/2 → ∞, quindi 1/n^1/2 → 0; analogamente 1/n² → 0; quindi 3 - 1/n^1/2 - 1/n² → 3
n² → ∞; quindi il limite di n²(3 - 1/n^1/2 - 1/n²) è del tipo "∞·L" con L>0, e quindi è ∞.
Analogamente n²(3 - 1/n^1/2 + 1/n²) → ∞ e, quindi, F(n) essendo compresa tra due successioni che tendono a ∞, anch'essa tende a ∞.
    Avremmo potuto concludere che F(n) → ∞ anche osservando che, per n → ∞, (-1)⁽ⁿ³⁾ e √(n³) sono trascurabili rispetto a 3n² e quindi lim_{n → ∞}F(n) = lim_{n → ∞}3n² = ∞

G(n) ha differenza 2 o -2 da F(n) quindi anch'essa tende a ∞

• 2^-F(n) = 1/2^F(n); 2^F(n) → ∞ in quanto F(n) → ∞ e la funzione x → 2^x è crescente; quindi 2^-F(n) ha limite del tipo "L/∞", ossia 2^-F(n) → 0.

• F(n)+G(n) ha limite del tipo "∞+∞", quindi F(n)+G(n) → ∞;
• analogamente F(n)·G(n) → ∞

• F(n)-G(n) per n pari vale 2, per n dispari vale -2, quindi non ha limite né infinito (in quanto i valori di F(n)-G(n) formano un insieme finito, e quindi limitato sia inferiormente che superiormente) né finito (comunque prenda L e n vi sono n maggiori di n per cui F(n)-G(n) dista da L almeno 2).

• F(n)/G(n) = (3 - 1/n^1/2 + 1/n²)/(3 - 1/n^1/2 - 1/n²) per n pari,
F(n)/G(n) = (3 - 1/n^1/2 - 1/n²)/(3 - 1/n^1/2 + 1/n²) per n dispari.
F(n)/G(n) è compresa tra due successioni convergenti entrambe a 3/3 = 1, e quindi converge anch'essa ad 1. Potevo arrivare alla stessa conclusione osservando (-1)⁽ⁿ³⁾ e √(n³) sono trascurabili rispetto a 3n² e concludere che  lim_{n → ∞}F(n)/G(n) = lim_{n → ∞}3n²/(3n²) = 1

• √F(n) / G(n) = F(n) / G(n) / √F(n);  F(n) / G(n) → 1 e √F(n) → ∞,  quindi √F(n) / G(n) → 1/∞ = 0. 

Possiamo fare la verifica usando il software online WolframAlpha:

lim 2 ^ -( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf
lim ( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) + ( 3*n^2-(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf
lim ( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) - ( 3*n^2-(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf
lim ( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) * ( 3*n^2-(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf
lim ( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) / ( 3*n^2-(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf
lim sqrt( 3*n^2+(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) / ( 3*n^2-(-1)^(n^3)-sqrt(n^3) ) as n -> inf

Controllo numerico, eseguibile con gli script  tab_H, tab_K, tab_U, tab_V, tab_W, tab_Z  [H è 2^-F,  K è F+G,  U è F-G,  V è F*G,  W è F/G,  Z è sqrt(F(/G)] o impiegando direttamente lo script  grande calcolatrice (vedi):

mettendo il termine con Q al posto di x in d e mettendo in g valori man mano più grandi:

pow(2, -(3*Q*Q+pow(-1,Q*Q*Q) - sqrt(Q*Q*Q)) )
1,1e1, 1e2, 1e3, 1e4
clicco [F] e in k ottengo:
0.5, 8.116627374317969e-82, 0, 0, 0

(3*Q*Q+pow(-1,Q*Q*Q)-sqrt(Q*Q*Q)) * (3*Q*Q-pow(-1,Q*Q*Q)-sqrt(Q*Q*Q))
1,1e1, 1e2, 1e3, 1e4
clicco [F] e in k ottengo:
3, 72025.33403898973, 840999999, 8811263340388.896, 89401000000000000

(3*Q*Q+pow(-1,Q*Q*Q)-sqrt(Q*Q*Q)) / (3*Q*Q-pow(-1,Q*Q*Q)-sqrt(Q*Q*Q))
1,1e1, 1e2, 1e3, 1e4
clicco [F] e in k ottengo:
0.3333333333333333, 1.0074800687006185, 1.0000689678954446, 1.0000006737690406, 1.0000000066889632