Sia x₀> 0. Sia x_n+1= √x_n. Dimostrare che la successione x_n è crescente se x₀< 1, decrescente se x₀> 1. Dimostrare che x_n converge, e che converge a 1.

La cosa è facilmente verificabile usando una calcolatrice, come questa. Se x>1, 1 < √x < x in quanto 1 < x < x2 (e l'elevamento al quadrato è strettamente crescente). Quindi se x0>1 xn+1 < xn (la successione decresce) e i suoi elementi si mantengono superiori a 1. A lato si vede graficamente che cosa accade per x0=2: a 2 succede, applicando √(.) (ossia prendendo l'ordinata che il grafico di y=√x associa a 2), √2, a cui succede (prendendo l'ordinata che il grafico di y=√x associa a √2) √(√2), …   Analogamente si dimostra che se x0<1 xn+1 > xn (la successione cresce) e i suoi elementi si mantengono inferiori a 1.   In entrambi i casi le successioni convergono: quella crescente converge all'estremo superiore dell'insieme dei suoi elementi, quella decrescente all'estremo inferiore di esso. Nel caso x0=1 la successione è costante e quindi banalmente convergente a 1.

Dal grafico si intuisce che anche negli altri casi la successione converge a 1. La cosa è facilmente dimostrabile così: xn+1 = √xn equivale (essendo xn>0) a (xn+1)2 = xn; se xn→ L ovviamente xn+1→ L e, dato che il prodotto conserva il passaggio al limite, (xn+1)2→ L2. Quindi deve essere L2=L, da cui, in quanto il limite deve essere positivo (la successione quando decresce si mantiene superiore a 1, quando cresce si mantiene suoperiore a x0), si ha che deve essere L=1.

Successioni definite per ricorsione come questa sono facilmente studiabili con questa calcolatreice:

Metto un qualunque numero positivo (ad es. 9) in (f) e sqrt(B) in (d); man mano che clicco [=] ottengo i valori della successione:

sqrt(9)=3   sqrt(3)=1.7320508075688772   sqrt(1.7320508075688772)=1.3160740129524924  ...  sqrt(1.0000000000000009)=1.0000000000000004   sqrt(1.0000000000000004)=1.0000000000000002   sqrt(1.0000000000000002)=1

# calcoli e grafici con R(vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
suc = function(n) if (n==0) x0 else sqrt(Recall(n-1))
x0 = 1.5; for(i in 0:25) print(suc(i),8)
x0 = 0.9; for(i in 0:25) print(suc(i),8)
# la rappresentazione grafica
f = function(x) sqrt(x)
BF=4; HF=3; PLANE(0,2, 0,1.5)
graph2(f, 0,2, "brown"); line(0,0, 3,3, "red")
text(0.65,0.4, "y=x"); text(0.25,0.75, bquote( y~"="~sqrt(x) ) )
x0 = 2; dart(x0,0, x0,sqrt(x0), "seagreen")
x1=sqrt(x0); line(x0,x1, x1,x1, "seagreen"); line(x1,x1, x1,sqrt(x1), "seagreen"); x0=x1
x1=sqrt(x0); line(x0,x1, x1,x1, "seagreen"); line(x1,x1, x1,sqrt(x1), "seagreen"); x0=x1
x1=sqrt(x0); line(x0,x1, x1,x1, "seagreen"); line(x1,x1, x1,sqrt(x1), "seagreen"); x0=x1
x1=sqrt(x0); line(x0,x1, x1,x1, "seagreen"); line(x1,x1, x1,sqrt(x1), "seagreen"); x0=x1
Point(sqrt(2),sqrt(2), "brown")
Point(sqrt(sqrt(2)),sqrt(sqrt(2)), "blue")
Point(sqrt(sqrt(sqrt(2))),sqrt(sqrt(sqrt(2))), "magenta")
line(sqrt(2)-0.1,sqrt(2), 1,sqrt(2), "brown")
text(0.85,sqrt(2), bquote( sqrt(2) ) , col="brown")
line(sqrt(sqrt(2))-0.1,sqrt(sqrt(2)), 0.8,sqrt(sqrt(2)), "blue")
text(0.65,sqrt(sqrt(2))+0.05, bquote( sqrt(sqrt(2)) ) , col="blue")
line(sqrt(sqrt(sqrt(2)))-0.1,sqrt(sqrt(sqrt(2))), 0.4,sqrt(sqrt(sqrt(2))) ,"magenta")
text(0.25,sqrt(sqrt(sqrt(2))), bquote( sqrt(sqrt(sqrt(2))) ) , col="magenta")