Stabilire se esistono (ed eventualmente calcolare) i limiti (per n → ∞) delle seguenti successioni:
n! / 2ⁿ     n! / (2n)!     2ⁿ / 3ⁿ     nⁿ / n!     (√(n+1)–√(n–1))√n     n·log(n) / ³√n⁴

• Per n > 2  n! / 2ⁿ = (1·2·…n) / (2·2·…2) = (1/2)(2/2)…(n/2) > (1/2)(n/2) = n/4 → ∞. Quindi n! / 2ⁿ → ∞
[quindi per n → ∞, n! è d'ordine superiore rispetto a 2ⁿ]

• per n > 0, n! / (2n)! = 1 / ((n+1)(n+2)…2n) < 1/(2n) → 0 e quindi  n! / (2n)! → 0

• Per n > 2  2ⁿ / 3ⁿ = (2/3)ⁿ → 0 in quanto 2/3 < 1 e hⁿ → 0 se  0 < h < 1.
[Dimostrazione che hⁿ → 0 se 0 < h < 1:
hⁿ < ε  equivale a  log(hⁿ) < log(ε), che equivale a  log(h)n < log(ε), che equivale a  n > log(ε)/log(h), in quanto log(h) < 0 essendo h < 1; quindi per ogni n maggiore della parte intera di log(ε)/log(h) hⁿ dista da 0 meno di ε]

• Per n > 1  nⁿ / n! = (n·n·…n) / (1·2·…n) = n·(n/2)…·n/(n-1)·1 ≥ n → ∞. Quindi nⁿ / n! → ∞
[quindi per n → ∞, nⁿ è d'ordine superiore rispetto a n!]

• Calcolando i valori di (√(n+1)–√(n–1))√n per n = 1, 2, 3, 4, … si ottiene:
1.414213562373, 1.03527618041, 1.014611872355, 1.008034339862, …
il che fa supporre che il limite sia 1.
Cerchiamo di "sbarazzarci" di "∞–∞" usando (a+b)(a-b) = … :
(√(n+1)–√(n–1)) √n = (√(n+1)–√(n–1)) (√(n+1)+√(n–1)) / (√(n+1)+√(n–1)) ·√n = ((n+1)–(n–1)) / (√(n+1)+√(n–1)) ·√n = 2√n / (√(n+1)+√(n–1)) → 1
come si intuisce pensando che il contributo degli "1" sotto radice diventa trascurabile (rispetto al valore complessivo del denominatore) al crescere di n e che quindi la successione tende a comportarsi come 2√n / (√n+√n) = 1.
Un modo semplice per precisare l'intuizione è considerare il reciproco di 2√n / (√(n+1)+√(n–1)):
(√(n+1)+√(n–1)) / (2√n) = (√(n+1)/√n+√(n–1)/√n)/2 = (√((n+1)/n)+√/(n–1)/n))/2 → (√1+√1)/2 = 1
Se il reciproco della nostra successione tende a 1, anch'essa tende ad 1.
In alternativa, ottenendo lo stesso esito, avrei potuto dividere entrami i termini del rapporto per √n:
2√n / (√(n+1)+√(n–1)) = (2√n / √n) / (√(n+1)/√n+√(n–1)/√n) = ...

• n·log(n) / ³√n⁴ = n·log(n) / n^4/3 = log(n) / n^1/3; log(n) è trascurabile rispetto a n^h qualunque sia h maggiore di 0; quindi  log(n) / n^1/3 → 0

Col software online WolframAlpha: plot y=log(x), y=x^0.35, y=x, y=x^0.5, 0<x<60,-0.5<y<4.5

Il controllo delle soluzioni col software online WolframAlpha:

lim x!/2^x as x -> inf                            ∞
lim x!/(2x)! as x -> inf                          0
lim 2^x/3^x as x -> inf                           0
lim (x^x)/x! as x -> inf                          ∞
lim (sqrt(x+1)-sqrt(x-1))*sqrt(x) as x -> inf     1
lim x*log(x)/x^(4/3) as x -> inf                  0

Un esempio di controllo grafico: plot y=2^x/3^x, y=x!/2^x, y=x!/(2x)!, 0 < x < 6   (il software estende "!" ai numeri reali)

  Per altri commenti: limiti, infiniti e infinitesimi (e, per l'ultimo esercizio, esponenziale e logaritmo) neGli Oggetti Matematici.
 

Come potrei congetturare i comportamenti, ad es. con R (calcolando i valori per coppie consecutive di input per evitare, ad esempio, che il comportamento sia solo per n pari):

f=function(n) factorial(n)/2^n; for(n in 1:6) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )
f=function(n) factorial(n)/factorial(2*n); for(n in 1:6) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )
f=function(n) n^n/factorial(n); for(n in 1:6) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )
f=function(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n-1))*sqrt(n); for(n in 1:6) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )
f=function(n) n*log(n)/n^(4/3); for(n in 1:6) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )
f=function(n) n*log(n)/n^(4/3); for(n in 7:30) print( c( f(2^n),f(1+2^n) ) )