Sappiamo che per x → 0
cos(x)−1 ≈ −x2/2
e
exp(x) ≈ x+1. Riconduciamo, quindi, lo studio del nostro limite a quello,
per x → 0, di
Calcolare lim x → 0 (cos(x)−1) / (x·ex−x)
Siamo di fronte al rapporto di due infinitesimi.
Sappiamo che per x → 0
cos(x)−1 ≈ −x2/2
e
exp(x) ≈ x+1. Riconduciamo, quindi, lo studio del nostro limite a quello,
per x → 0, di
Possiamo verificare la cosa con una calcolatrice scientifica o con un programma (meglio se tracciando anche il grafico).
| Ad es. con i comandi seguenti di R abbiamo: |  |
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=2; graph1F(F, -5,5, "brown"); POINT(0,-1/2, "red")
#
for(n in 10:25) more( c(2^-n, F(2^-n) ) )
# 0.0009765625 -0.499755859433227
# 0.0004882812 -0.499877929845108
# 0.0002441406 -0.499938965465011
# 0.0001220703 -0.499969483043098
# 6.103516e-05 -0.499984741365556
# 3.051758e-05 -0.499992370645487
# 1.525879e-05 -0.49999618531001
# 7.629395e-06 -0.499998092658643
# 3.814697e-06 -0.499999046327503
# 1.907349e-06 -0.499999523163297
# 9.536743e-07 -0.499999761581535
# 4.768372e-07 -0.499999880790739
# 2.384186e-07 -0.499999940395362
# 1.192093e-07 -0.499999970197679
# 5.960464e-08 -0.499999985098839
# 2.980232e-08 -0.49999999254942
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