Sappiamo che per x → 0
eh x−1 ≈ hx
e
log(x+1) ≈ x.Quindi, per x → 0, x / (eh x+log(x+1)−1) → 1 / (h+1).
1 / (h+1) = 2 sse h+1 = 1/2 sse h = −1/2.
Quanto deve valere h affinché lim x → 0 x / (eh x+log(x+1)−1) = 2
Siamo di fronte al rapporto di due infinitesimi.
Sappiamo che per x → 0
eh x−1 ≈ hx
e
log(x+1) ≈ x.
Quindi, per x → 0,
x / (eh x+log(x+1)−1) → 1 / (h+1).
1 / (h+1) = 2 sse h+1 = 1/2 sse h = −1/2.
Possiamo verificare la cosa con una calcolatrice scientifica o
con un programma (meglio se tracciando anche il grafico).
Ad es. posso usare R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) x/(exp(H*x)+log(x+1)-1)
BF=4; HF=3; Plane(-1,7, 0,5)
H=1; graph2(F, -1,7, "brown")
H=2; graph2(F, -1,7, "red")
H=1/2; graph2(F, -1,7, "seagreen")
H=1/4; graph2(F, -1,7, "magenta")
H=-1/2; graph2(F, -1,7, "blue")