(a)  Studiare il limite a lato per n = 2 e, poi,  (b)  al variare di n nell'insieme dei numeri interi non negativi.

lim x → 0   log(1 + x2) ————— sin(xn)

Ragionando graficamente e numericamante usando del software (ad es. con R) è facile concludere.  Posto f(x) = log(1+x^2)/sin(x^n), per x → 0  quando n = 2  f(x) → 1, quando n = 1  f(x) → 0,  quando n ≥ 4, n pari  f(x) → ∞,  quando n ≥ 3, n dispari  il limite è ∞ per x → 0+,  −∞ per x → 0−.  Per n = 0 invece f(x) = log(1+x^2) → 0 per x → 0.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) log(1+x^2)/sin(x^n)
HF=3.5; BF=5; Plane(-2.7,2.7, -2,3)
n=2; graph2(f, -3,3, "brown")
n=1; graph1(f,-3,3, "blue"); n=3; graph1(f,-3,3, "red"); n=4; graph1(f,-3,3, "seagreen")
#
n=1; x=2^-(15:20); f(x)
# 3.051758e-05 1.525879e-05 7.629395e-06 3.814697e-06 1.907349e-06 9.536743e-07
n=2; x=2^-(8:14); f(x)
# 0.9999924 0.9999981 0.9999995 0.9999999 1.0000000 1.0000000 1.0000000
n=3; x=2^-(15:20); f(x)
#   32768   65536  131072  262144  524288 1048576
n=3; x=-2^-(15:20); f(x)
#   -32768   -65536  -131072  -262144  -524288 -1048576
n=4; x=2^-(15:20); f(x)
# 1.073742e+09 4.294967e+09 1.717987e+10 6.871948e+10 2.748779e+11 1.099512e+12

Approfondiamo il discorso.

(a)

Sopra sono tracciati i grafici di f: x → log(1+x²)/sin(xⁿ), g: x → log(1+x²) e di h: x → sin(xⁿ) nel caso in cui n = 2.  Sappiamo che () per x → 1 log(x) ≈ x−1 e quindi che per x → 0 log(1+x) ≈ x, e quindi che per x → 0 log(1+x²) ≈ x².  Analogamente sappiamo che () per x → 0 sin(x) ≈ x, e quindi che per x → 0 sin(x²) ≈ x².  Abbiamo, dunque, che f(x) = g(x)/h(x) ≈ x²/x² = 1 → 1 per x → 0.  Tutto ciò è confermato dai grafici precedenti.
    Volendo, potevo procedere brutalmente usando la () regola de L'Hopital:  D_t log(1+t) = 1/(1+t), D_t sin(t) = cos(t), 1/(1+t)/cos(t) = 1/((1+t)cos(t)) → 1 per t → 0.

(b) Per n = 1 il secondo termine del rapporto tende a 0 più lentamente (come x invece che come x2), quindi il limite è 0.  Per n = 0 il secondo termine del rapporto è la costante sin(1), e quindi il limite è 0.     Per n = 3 (caso illustrato a fianco) abbiamo che il secondo termine del rapporto tende a 0 più velocemente. Per x → 0+ esso tende a 0 restando positivo, come il primo termine del rapporto, log(1+x2), quindi il rapporto tende a ∞.  Per x → 0− esso tende a 0 restando negativo, quindi il rapporto tende a −∞.  Quindi abbiamo che i limiti da destra e da sinistra esistono, ma sono diversi: uno è infinito, l'altro è meno infinito.     Per n dispari maggiore di 3 abbiamo un comportamento analogo.     Per n pari e maggiore di 2 abbiamo il rapporto tra un infinitesimo e uno di ordine maggiore, entrambi tendenti a 0 restando positivi; quindi, in questo caso, il limite per x → 0 esiste ed è ∞.