Studiare il seguente limite al variare di n nell'insieme degli interi non negativi:

lim x → 0	arctan(x2) − log(1−x2)
	—————————
	xn (ex − 1)

Ragionando graficamente e numericamante usando del software (ad es. con R o questo semplice script online - figura sotto a destra) è facile concludere.  Posto f(x) = (atan(x^2)-log(1-x^2))/(x^n*(exp(x)-1)), per x → 0  quando n = 0  f(x) → 0, quando n = 1  f(x) → 2, quando n = 2, 4, …  f(x) → ∞ per x → 0+ e f(x) → −∞ per x → 0−,  quando n = 3, 5, … f(x) → ∞ per x → 0.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (atan(x^2)-log(1-x^2))/(x^n*(exp(x)-1))
HF=3.5; BF=5; Plane(-1,1, -7,7)
n=0; graph2(f, -1,1, "orange")
n=1; graph2(f, -1,1, "brown")
n=2; graph2(f, -1,1, "red")
n=3; graph2(f, -1,1, "seagreen")
n=4; graph2(f, -1,1, "magenta")
n=5; graph2(f, -1,1, "blue")
n=1; x=2^-(15:21); f(x)
#
# 1.999969 1.999985 1.999992 1.999996 1.999998 1.999999 2.000000
n=2; x=2^-(20:25); f(x)
#  2097151  4194303  8388607 16777215 33554431 67108863
n=2; x=-2^-(20:25); f(x)
#  -2097153  -4194305  -8388609 -16777217 -33554433 -67108865

Approfondiamo il discorso.
Sotto sono tracciati, parzialmente, i grafici di a: x → atan(x),  b: x → log(1−x),  c: x → exp(x)−1 [ contin. e deriv. e fun. esp. e log.].
Essi corrispondono al fatto che, per x → 0, arctan(x) ≈ x,  log(1−x) ≈ − x,  exp(x−1) ≈ x [ infinti e inf.mi].

Dunque, indicata con F_n la funzione di cui stiamo studiando il limite, abbiamo che per x → 0  F_n(x) ≈ 2x²/xⁿ⁺¹ = 2x¹⁻ⁿ, che tende a 2 se n=1, tende a 0 se n=0, tende a ∞ se n>1 e n è dispari; i limiti da destra e da sinistra sono ∞ e −∞ se n>1 e n è pari. Sopra, a destra, sono rappresentati graficamente i casi in cui n vale 0, 1 e 2.

Volendo, in modo più meccanico, e tecnicamente più complesso, si poteva usare il teorema de l'Hoptital