Siano F(x) = sin(1/x)·x2 e G(x) = x. Determinare F'(x) e G'(x) e studiare il limite di F'(x)/G'(x) per x che tende a 0. Valutare, tenendo conto di quanto ottenuto, i rischi di una interpretazione scorretta del teorema de L'Hopital.

F'(x)/G'(x) = 2x sin(1/x)−cos(1/x) non ha limite per x che tende a 0 mentre F(x)/G(x) tende a 0, in quanto |F(x)/G(x)| = |sin(1/x)·x| ≤ |x| → 0.
L'implicazione inversa della regola de L'Hopital non vale!
    Per il teorema de L'Hopital vedi Proprietà delle funzioni continue e di quelle derivabili neGli Oggetti Matematici.
  

# Il grafico di F(x)/G(x)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
H = function(x) sin(1/x)*x; H1 = function(x) x; H2 = function(x) -x
HF=2.5; BF=4.5; PLANE(-1.5,1.5, -1/2,1)
graph1(H1, -2,2, "brown"); graph1(H2, -2,2, "brown")
graph1(H, -2,2, "seagreen")