Sia F(x) = e−|x| log(x2+1) / x.
(a) Determinare dominio di F, studiarne il segno, stabilire se è dispari,
pari o né pari né dispari.
(b) Calcolare, se esistono, i limiti di
(a)
(b)
Per x → ∞ log(x2+1) ≈ log(x2)
= 2·log(x) è un infinito di ordine inferiore a x e a
ex.
Quindi
(c) Per x → 0
F(x) → 0 in quanto
e−|x| → 1,
log(1+x) ≈ x
(vedi)
e quindi log(1+x2) ≈ x2,
e, dunque,
# Con R posso studiare facilmente la funzione e trovare max e min source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # per calcolare la derivata occorre sostituire abs(x) con sqrt(x^2) f = function(x) exp(-sqrt(x^2))*log(x^2+1)/x BF=3.5; HF=2.5; graph2F(f, -6,6, "brown") maxmin(F,0.01,5); maxmin(F,-0.01,-5) # 0.6706233 -0.6706233 # Troviamo max e min con più precisione con la derivazione df = function(x) eval(deriv(f,"x")) m=solution(dF,0, 0.01,2); fm=f(m); more( c(m,fm) ) # 0.670623330553782 0.283200020694461 POINT(m,fm,"red"); POINT(-m,-fm,"red")