Sia F(x) = e−|x| log(x2+1) / x.  (a) Determinare dominio di F, studiarne il segno, stabilire se è dispari, pari o né pari né dispari.  (b) Calcolare, se esistono, i limiti di F(x) per x → ∞ e per x → −∞.  (c) Stabilire i valori reali di C per cui la funzione G definita nel modo seguente è continua in 0:  G: x → F(x) per x≠0, 0 → C.

(a) e−|x|  e  log(x2+1)  sono definti per ogni x, quindi F(x) non è definito solo per x=0.  È immediato osservare che la funzione è dispari:  se cambio segno ad x  e−|x|  e  log(x2+1)  restano immutati mentre 1/x, ovviamente, cambia segno.  Inoltre  e−|x|  e  log(x2+1)  sono positivi, quindi F(x) > 0 per x > 0. Essendo F dispari, F(x) < 0 per x < 0

(b) Per x → ∞  log(x2+1) ≈ log(x2) = 2·log(x)  è un infinito di ordine inferiore a  x  e a  ex.  Quindi F(x) → 0 per x → ∞. Per la simmetria rispetto ad O (F è dispari) F(x) → 0 per x → −∞

(c) Per x → 0  F(x) → 0  in quanto  e−|x| → 1,  log(1+x) ≈ x  (vedi) e quindi  log(1+x2) ≈ x2, e, dunque,  e−|x| log(1+x2)/x ≈ x

   

# Con R posso studiare facilmente la funzione e trovare max e min
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# per calcolare la derivata occorre sostituire abs(x) con sqrt(x^2)
f = function(x) exp(-sqrt(x^2))*log(x^2+1)/x
BF=3.5; HF=2.5; graph2F(f, -6,6, "brown")
maxmin(F,0.01,5); maxmin(F,-0.01,-5)
#   0.6706233    -0.6706233
# Troviamo max e min con più precisione con la derivazione
df = function(x) eval(deriv(f,"x"))
m=solution(dF,0, 0.01,2); fm=f(m); more( c(m,fm) )
# 0.670623330553782 0.283200020694461
POINT(m,fm,"red"); POINT(-m,-fm,"red")