Siano  F: x → A·x+B se x < 0, x → exp(x) se x ≥ 0,  G : x → P·x+Q se x < 1, x → log(x) se x ≥ 1.  (1) Determina quali valori devono avere A e B affinché F sia continua in R e quali affiché sia derivabile in R.  (2) Determina quali valori devono avere P e Q affinché G sia continua in R e quali affinché sia derivabile in R.

exp(0)=1: affinché F sia continua deve essere A·0+B=1, ossia B=1; affinchè sia anche derivabile, dato che exp'(0)=exp(0)=1 e che D_x(A·x+1)=A, deve essere A=1.

log(1)=0: affinché G sia continua deve essere P·1+Q=0, ossia P=−Q; affinchè sia anche derivabile, dato che log'(1)=1/1=1 e che D_x(−Q·x+Q)=−Q, deve essere Q=−1, P=1.

A = 0; B = 1   A = -1; B = 1     P = 0; Q = 0   P = -1; Q = 1

A = 1; B = 1       P = 1; Q = -1

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# I grafici nei casi della derivabilità:
F = function(x) ifelse(x < 0, A*x+B, exp(x))
G = function(x) ifelse(x < 1, P*x+Q, log(x))
BF=2.5; HF=2.5
PLANE(-2,2, -1,3); A = 1; B = 1
graph2(F,-2,0, "black"); graph2(F,0,2, "red")
#
PLANE(-2,2, -1,3); A = 0; B = 1
graph2(F,-2,0, "black"); graph2(F,0,2, "red")
A = -1; graph2(F,-2,0, "black")
#
PLANE(-1,3, -2,2); P = 0; Q = 0
graph2(G,-1,1, "black"); graph2(G,1,3, "red")
P = -1; Q = 1
graph2(G,-1,1, "black"); graph2(G,1,3, "red")
#
PLANE(-1,3, -2,2); P = 1; Q = -1
graph2(G,-1,1, "black"); graph2(G,1,3, "red")