(1)
√(1 – 2x)	è definito se 1 – 2x ≥ 0 e x – 1 ≠ 0.
————
x – 1
1 – 2x ≥ 0  <==>  1 ≥ 2x  <==>  1/2 ≥ x;  x – 1 ≠ 0  <==>  x ≠ 1 (condizione inclusa nella precedente).
Quindi F(x) è definito per x ≤ 1/2, ossia il dominio di F è (–∞, 1/2].
F(x) = 0 quando 1 – 2x = 0, ossia x = 1/2. Negli altri casi √(1 – 2x) > 0, e quindi F(x) ha il segno di x – 1, che è positivo per x > 1. Ma questi valori di x sono al di fuori del dominio di F. Quindi F(x) è nullo per x = 1/2 e negativo per x in (–∞, 1/2).
lim x → –∞ F(x) = 0 in quanto x – 1 è un infinito di ordine superiore rispetto a √(1 – 2x).
Possiamo ipotizzare che il grafico abbia una forma simile alla seguente. In ogni caso F (essendo una funzione continua nell'intervallo in cui è definita) ha sicuramente un punto di minimo assoluto.
Per precisare la forma del grafico studiamo l'andamento di F'. Indichiamo con D la derivazione rispetto a x. D(√(1 – 2x)/(x – 1)) = (D(√(1 – 2x))·(x – 1) – √(1 – 2x)·D(x – 1)) / (x – 1)2 = x / (√(1 – 2x)·(x – 1)2)
Per x = 1/2 F'(x) non è definito, per x → 1/2 F'(x) → ∞.  F'(x) altrove ha il segno di x in quanto √(1 – 2x)·(x – 1)2 è positivo. Dunque F'(x) è nullo, positivo e negativo rispettivamente per x = 0, 1/2 > x > 0 e x < 0. Quindi F decresce in (–∞, 0], cresce in [0, 1/2] e ha minimo in 0, dove vale F(0) = – 1. Il grafico è più meno il seguente. Ci aspettiamo che ci sia almeno un cambio di concavità. Volendo possiamo trovarlo studiando F"(x).
D(√(1 – 2x)·(x – 1)2) = –(x–1)(5x–3)/√(1–2x) F"(x) = ... = (3x2 – 1) / (...) si annulla per x = √3/3 e x = –√3/3. Il primo valore non è nel dominio, il secondo è un punto in cui F decresce: ivi (vedi grafico soprastante) si ha quindi (andando verso destra) un passaggio da una concavità verso il basso a una verso l'alto.
(2)  L'equazione F(x) = –1/2, per quanto stabilito sopra sull'andamento di F (anche senza lo studio della concavità), ha esattamente due soluzioni. Troviamole, sottointendendo che x stia in (–∞, 1/2]: √(1 – 2x)/(x – 1) = –1/2  <==>  2√(1 – 2x) = 1 – x  <==>  4(1 – 2x) = 1 + x2 – 2x  <==>  x2 + 6x – 3  <==>  x = –3 + 2√3 OR x = –3 – 2√3

A destra il grafico fatto con questo semplice script online.

Potrei fare tutto facilmente con WolframAlpha solve sqrt(1-2*x)/(x-1)= -1/2 for x plot y=sqrt(1-2*x)/(x-1), y=-1/2, x=-10..1 min sqrt(1-2*x)/(x-1) inflection point y=sqrt(1-2*x)/(x-1), x=-10..1

Potrei fare i calcoli anche con questa calcolatrice online (vedi):

Minimo:
-1     0.5
sqrt(1-2*Q)/(Q-1)
Q= 0 dif= 1 F(Q)= -0.9714045207910318
...
Q= 1.1053589667028085e-8 dif= 5.6272363365970136e-8 F(Q)= -0.9999999999999999
Q= 1.6748624393663948e-9 dif= 3.7514908910646755e-8 F(Q)= -1
Soluzione destra:
0     0.5
sqrt(1-2*Q)/(Q-1)+1/2
Q= 0.375 dif= 0.25 F(Q)= 0.028595479208968266
...
Q= 0.46410161513775483 dif= 8.881784197001252e-16 F(Q)= 1.4710455076283324e-15
Q= 0.4641016151377546 dif= 4.440892098500626e-16 F(Q)= 2.8033131371785203e-15
Q= 0.4641016151377545 dif= 2.220446049250313e-16 F(Q)= 7.771561172376096e-16
Q= 0.46410161513775455 dif= 1.1102230246251565e-16 F(Q)= -2.220446049250313e-16
Q = 0.46410161513775
Soluzione sinistra:
-10     0
Q= -7.5 dif= 5 F(Q)= -0.2763853991962833Q= -7.5 dif= 5 F(Q)= -0.2763853991962833
...
Q= -6.464101615137755 dif= 8.881784197001252e-16 F(Q)= -5.551115123125783e-17
Q= -6.464101615137755 dif= 8.881784197001252e-16 F(Q)= 0
Q = -6.4641016151378
  Il confronto con le soluzioni "teoriche"
-3 + 2*sqrt(3) = 0.4641016151377544
-3 - 2*sqrt(3) = -6.464101615137754

# Grafici e soluzioni con R  (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) sqrt(1-2*x)/(x-1)
BF=5; HF=2.5
graph1F( F, -10,1, "brown")
graph1( F, 0,1/2, "brown")
abline(h=-1/2)
x1=solution(F,-1/2, 0,0.499); x1
# 0.4641016
x2=solution(F,-1/2, 0,-10); x2
# -6.464102
(x1+3)^2; (x2+3)^2
#  12        12        x1/x2 = -3 +/- 2*sqrt(3)
POINT(x1,-1/2, "blue"); POINT(x2,-1/2, "blue")
x3=maxmin(F, -2,0.499); x3
# -9.832206e-11   "praticamente" 0       min
POINT(x3,F(x3), "red")
d2F = function(x) eval( deriv2(F,"x") )
x4=solution(d2F,0, -6,0); x4
# -0.5773503
POINT(x4,F(x4), "seagreen")
x4^2
# 0.3333333          x4 = -1/sqrt(3)    flesso