Traccia (calcolandone prima la derivata) il grafico di:  x → 3x4 − 4x3 − 12x2 + 3

Poniamo g(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 3. g è una funzione polinomiale di 4° grado, quindi i suoi limiti per l'input che tende a ∞ e a −∞ sono uguali a ∞. Ci aspettiamo che il suo grafico abbia 1 o 2 punti di minimo relativo (almeno 1 dei quali sia anche di minimo assoluto) e al più 1 punto di massimo relativo. Possiamo trovare tali punti derivando:
g'(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x − 2) = 12x(x+1)(x−2)
g'(x) = 0 per x che vale −1, 0 e 2.
Dunque g decresce in (−∞, −1] U [0, 2] e cresce in [−1, 0] U [2, ∞).
Possiamo stimare quanto vale g nei punti di massimo e di minimo:  g(−1) = −2, g(0) = 3, g(2) = −29.
Dunque il grafico di g ha l'andamento a lato.
Sono segnati anche (in blu) i punti in cui il grafico cambia concavitÓ.
   

  Per altri commenti: derivata neGli Oggetti Matematici.

Potrei risolvere facilmente il problema (trovando anche le intersezioni con l'asse x) con degli script online (e scaricabili sul proprio computer).
Con questo posso trovare le intersezioni con l'asse x:
• tabulo la funzione:

a=-2 ... b=3 (10 valore di F(x) per x tra -2 e 3)
35 4.6875 -2 0.6875 3 -0.3125 -10 -22.3125 -29 -17.3125 30

Deduco che ci sono tre zeri, in [-2,-1], in [-1,0], in [0,1]; cliccando più volte trovo:
a=-2 ... b=-1
...
a=-1.2950047630639507 b=-1.2950047630639505
prima intersezione con l'asse x: −1.295004763064
a=-1 ... b=0
...
a=-0.5910425701852595 b=-0.5910425701852594
seconda intersezione con l'asse x: −0.59104257018526
a=0 ... b=1
...
a=0.4762876723923455 b=0.47628767239234554
terza intersezione con l'asse x: 0.47628767239235

Con questi posso trovare i massimi e i minimi:
max
a=-1 ... b=1
...
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a=-5.171605901530144e-9 ... b=-5.1716059015301435e-9
Il massimo lo si ha in 0 (-5.17e-9 è un'approssimazione di 0), e ivi F vale 3.
min
a=-2 ... b=0
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
a=-1.0000000093844439 ... b=-1.0000000093844437
a=0 ... b=3
-29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29
a=1.9999999815956226 ... b=1.9999999815956229
I minimi li abbiamo in −1 e in 2, e ivi F vale −2 e − 29.

# Grafici e soluzioni con R  (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) 3*x^4-4*x^3-12*x^2+3
BF=3; HF=2.5
graph2F(g, -2,3, "brown")
dg = function(x) eval( deriv(g,"x") )
x1 = solution(dg,0, -2,-1/2); x1; g(x1)
# -1   -2
x2 = solution(dg,0, -1/2,1/2); x2; g(x2)
# 0     3
x3 = solution(dg,0, 1,3); x3; g(x3)
# 2    -29
# Troviamo anche i punti in cui la curva cambia concavitÓ, dove la pendenza della
# derivata prima cambia segno, ossia dove la derivata seconda si annulla
dg2 = function(x) eval( deriv2(g,"x") )
x4 = solution(dg2,0, -1,0); x4; g(x4)
# -0.5485838     0.3207446
x5 = solution(dg2,0, 0,2); x5; g(x5)
# 1.21525        -15.35778
x=c(x1,x2,x3); POINT(x,g(x), "seagreen")
x=c(x4,x5); POINT(x,g(x), "blue")
aboveX("x1",-1); aboveX("x2",0); aboveX("x3",2)