Traccia (calcolandone prima la derivata) il grafico di: x → 3x4 − 4x3 − 12x2 + 3
Poniamo g(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 3.
g è una funzione polinomiale di 4° grado, quindi i suoi limiti per l'input
che tende a ∞ e a −∞ sono uguali a ∞. Ci aspettiamo che il suo grafico abbia 1 o 2 punti
di minimo relativo (almeno 1 dei quali sia anche di minimo assoluto) e al più
1 punto di massimo relativo. Possiamo trovare tali punti derivando: g'(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x − 2) = 12x(x+1)(x−2) | |
g'(x) = 0 per x che vale −1, 0 e 2. Dunque g decresce in (−∞, −1] U [0, 2] e cresce in Possiamo stimare quanto vale g nei punti di massimo e di minimo: Dunque il grafico di g ha l'andamento a lato. Sono segnati anche (in blu) i punti in cui il grafico cambia concavità. | |
Per altri commenti: derivata neGli Oggetti Matematici. |
Potrei risolvere facilmente il problema (trovando anche le intersezioni con l'asse x) con degli script online (e scaricabili sul proprio
computer).
Con questo posso trovare le intersezioni con l'asse x:
• tabulo la funzione:
a=-2 ... b=3 (10 valore di F(x) per x tra -2 e 3)
35 4.6875 -2 0.6875 3 -0.3125 -10 -22.3125 -29 -17.3125 30
Deduco che ci sono tre zeri, in [-2,-1], in [-1,0], in [0,1]; cliccando più volte trovo:
a=-2 ... b=-1
...
a=-1.2950047630639507 b=-1.2950047630639505
prima intersezione con l'asse x: −1.295004763064
a=-1 ... b=0
...
a=-0.5910425701852595 b=-0.5910425701852594
seconda intersezione con l'asse x: −0.59104257018526
a=0 ... b=1
...
a=0.4762876723923455 b=0.47628767239234554
terza intersezione con l'asse x: 0.47628767239235
Con questi posso trovare i massimi e i minimi:
max
a=-1 ... b=1
...
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a=-5.171605901530144e-9 ... b=-5.1716059015301435e-9
Il massimo lo si ha in 0 (-5.17e-9 è un'approssimazione di 0), e ivi F vale 3.
min
a=-2 ... b=0
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
a=-1.0000000093844439 ... b=-1.0000000093844437
a=0 ... b=3
-29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29 -29
a=1.9999999815956226 ... b=1.9999999815956229
I minimi li abbiamo in −1 e in 2, e ivi F vale −2 e − 29.
# Grafici e soluzioni con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") g = function(x) 3*x^4-4*x^3-12*x^2+3 BF=3; HF=2.5 graph2F(g, -2,3, "brown") dg = function(x) eval( deriv(g,"x") ) x1 = solution(dg,0, -2,-1/2); x1; g(x1) # -1 -2 x2 = solution(dg,0, -1/2,1/2); x2; g(x2) # 0 3 x3 = solution(dg,0, 1,3); x3; g(x3) # 2 -29 # Troviamo anche i punti in cui la curva cambia concavità, dove la pendenza della # derivata prima cambia segno, ossia dove la derivata seconda si annulla dg2 = function(x) eval( deriv2(g,"x") ) x4 = solution(dg2,0, -1,0); x4; g(x4) # -0.5485838 0.3207446 x5 = solution(dg2,0, 0,2); x5; g(x5) # 1.21525 -15.35778 x=c(x1,x2,x3); POINT(x,g(x), "seagreen") x=c(x4,x5); POINT(x,g(x), "blue") aboveX("x1",-1); aboveX("x2",0); aboveX("x3",2)