Determinare A e B in funzione di K in modo che esista F'(K), essendo F(x) = Ax+B se x<K, F(x) = x² se x ≥ K

Schizzo qualche grafico per capire meglio le richieste. A lato sono tracciati per un particolare K, oltre a y= x², due rette r e s del tipo y = Ax+B che per x=K intersecano tale curva. Noi dobbiamo trovare tra le rette di questo tipo (ossia le rette che possono corrispondere alla parte a sinistra del grafico di F affinché F, proseguendo come x → x², sia continua) quella che in x=K ha la stessa pendenza di y= x² (in modo che F sia anche derivabile); s ha anche questa caratteristica.
d(x²)/dx = 2x, che per x=K vale 2K. Quindi occorre che A=2K.

Il più è fatto. Ora trovo quanto deve valere B, ossia l'ordinata in cui la retta interseca l'asse y. Il punto in cui passano retta e parabola è x=K, y=K². La retta ha pendenza 2K, quindi interseca l'asse y in K²-2K² = -K². Infatti per arrivare all'asse y da tale punto mi sposto orizzontalmente di -K; essendo 2K la pendenza, mi sposto vericalmente di 2K*(-K) = -2K²: B=-K²

Per trovare B potevo anche, più meccanicamente, fare così: una retta che passa per (K,K²) ha equazione y = A(x-K)+K². Nel nostro caso A=2K. Ricavo: y = 2K(x-K)+K² = 2Kx -2K²+K² = 2kx-K². B deve valere -K².

Per inciso, come calcolare la derivata con WolframAlpha: d( Piecewise[ { {A*x+B, x < K}, {x^2, x>=K} } ] ) / dx
Il software non specifica che nel punto di confine l'esitenza e il valore della derivata deve essere valutato con qualche considerazione teorica.

Schizzo qualche grafico per capire meglio le richieste. A lato sono tracciati per un particolare K, oltre a y= x², due rette r e s del tipo y = Ax+B che per x=K intersecano tale curva. Noi dobbiamo trovare tra le rette di questo tipo (ossia le rette che possono corrispondere alla parte a sinistra del grafico di F affinché F, proseguendo come x → x², sia continua) quella che in x=K ha la stessa pendenza di y= x² (in modo che F sia anche derivabile); s ha anche questa caratteristica. d(x²)/dx = 2x, che per x=K vale 2K. Quindi occorre che A=2K.
Il più è fatto. Ora trovo quanto deve valere B, ossia l'ordinata in cui la retta interseca l'asse y. Il punto in cui passano retta e parabola è x=K, y=K². La retta ha pendenza 2K, quindi interseca l'asse y in K²-2K² = -K². Infatti per arrivare all'asse y da tale punto mi sposto orizzontalmente di -K; essendo 2K la pendenza, mi sposto vericalmente di 2K*(-K) = -2K²: B=-K²
Per trovare B potevo anche, più meccanicamente, fare così: una retta che passa per (K,K²) ha equazione y = A(x-K)+K². Nel nostro caso A=2K. Ricavo: y = 2K(x-K)+K² = 2Kx -2K²+K² = 2kx-K². B deve valere -K².