P = √(1 – 3 T eT) per quale valore di T ha il valore massimo?

Invece che derivare P in funzione di T ci conviene osservare che la radice quadrata è una funzione crescente, quindi conserva la crescenza/decrescenza della funzione a cui viene applicata. Possiamo quindi ricondurci a trovare il massimo di 1 – 3 T eT, restringendoci ai T in cui tale termine non è negativo.
d(1–3TeT)/dT = 0 – 3·(1·eT + T·eT) = –3eT(1+T) ha segno opposto a quello di T+1 in quanto eT>0.
Dunque 1–3TeT cresce per T≤–1 e decresce per T≥–1, e assume in –1 il valore massimo, pari a 1+3e–1. Questo valore è maggiore di 0 e quindi appartiene al dominio di √(1–3TeT). Anche questo termine assume quindi valore massimo per T = –1.
A lato sono tracciati i grafici in funzione di T sia di 1–3TeT che di √(1–3TeT).
 

# come potremmo procedere con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=2.5
P = function(T) sqrt(1-3*T*exp(T))
graphF( P, -10,10, "brown")
graphF( P, -5,1, "brown")
maxmin(P, -5,0)
# -1
# Ovvero, calcolando la derivata:
dP <- function(T) eval(deriv(P,"T")); solution(dP,0, -5,0)
# -1

 

Posso controllare il risultato usando gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso come "F(x)" 1-3*x*exp(x).

# max

Assume il valore massimo (2.10363832351) quando x (cioè T) è 1.