Per φ = F, G, H e K, tracciare la curva y = φ(x) precisando quali sono gli x per cui φ(x) è definito, qual è l'insieme dei possibili output (ossia l'immagine di φ), quali sono gli intervalli in cui φ cresce e quelli in cui decresce  [se è difficile determinare i valori esatti dei valori richiesti o degli estremi degli intervalli, può essere sufficiente individuarli dandonone, a seconda dei casi, approssimazioni, posizione sull'asse x, forma – intervallo del tipo [q,∞) con q … – o altre caratterizzazioni].

F(x) = (x2 – 1) / |x + 1|
    Innanzi tutto osservo che F(x) è definito per x ≠ -1.
Per x > -1 F(x) = (x2–1)/(x+1) = x-1,
per x < -1 F(x) = -(x2–1)/(x+1) = 1-x.
Quindi il grafico di F è quello rappresentato a destra.
    Senza alcun calcolo differenziale, posso concludere che F descresce in (-∞,-1) e cresce in (-1,∞), e ha come immagine (-2,∞).
  

G(x) = log(x) / (x – 1)
    Innanzi tutto trovo il dominio di G. log(x) è definito per x > 0. La divisione per x–1 è definita per x ≠ 1. Quindi il dominio di G è (0, 1) U (1, ∞).

Col computer posso ottenere facilmente che il grafico di G è quello rappresentato a destra, dove so che c'è un "buco" in corrispondenza di x = 1. Capisco che il buco è colmabile rendendo la funzione continua e derivabile ovunque, e che la derivata è negativa.
Cerchiamo, senza l'aiuto del computer, di capire perché l'andamento è proprio questo. Innanzi tutto studiamo il comportamento di G(x) per x che tende agli estremi degli intervalli la cui unione forma il dominio di G.
lim x → 0 G(x) = ∞ in quanto log(x) → −∞ e x−1 in 0 vale −1;
lim x → 1 G(x) = limx → 1(x–1+o(x-1)) / (x–1) = limx → 1(x–1)/(x–1) = 1  [in quanto log(x) ≈ x-1 per x→1]
lim x → ∞ G(x) = 0 in quanto log(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a x−1.
   

Posso concludere che G è prolungabile a una funzione continua in tutto (0, ∞) e che l'immagine di questa funzione prolungata è (0,∞).
    Per studiare dove G cresce/descresce posso calcolare D(G):
D(G)(x) = -( log(x)+(1-x)/x )/(x-1)2 per x ≠ 1 ha lo stesso segno di 1-log(x)-1/x
Dx(1-log(x)-1/x) = 1/x2 - 1/x = (1-x)/x2 che è >0 / =0 / <0 per x <1 / =1 / >1
Quindi log(x)+1/x-1 assume valore massimo per x=1, dove vale 0, e per ogni x ≠ 1 è quindi negaitivo.
Concludendo G ha derivata negativa in tutto il suo dominio.
Per x → 1 G'(x) → -1/2. Il prolungamento di G ha derivata negativa in (0,∞) ed è ivi strettamente decrescente.

H(x) = ln(2x3 – 9x2 + 12x).
    Per trovare il dominio di H studio l'argomento del logartimo, che deve essere positivo.
• È un termine polinomiale in x di 3° grado scomponibile in x(2x2–9x+12); studiando il secondo fattore posso dedurre che rappresenta una parabola al di sopra dell'asse x (vedi figura a sinistra, in rosso) e concludere che x(2x2–9x+12) > 0 quando x>0.

   • Posso anche studiare direttamente 2x3–9x2+12x: la sua derivata rispetto a x è 6(x2–3x+2), che si annulla per x=1 ed è quindi divisibile per x-1; ottengo 6(x-1)(x-2); dunque l'argomento cresce in (-∞,1] e in [2,∞), decresce in [1,2]; per x=2 vale 4; quindi ha l'andamento raffigurato a sinistra: è positivo in (0,∞). Questo è il dominio di H.
    Il secondo metodo conviene in quanto mi permette di schizzare anche il grafico di H (vedi figura a destra).
 

Infatti la funzione logaritmo è crescente, quindi la sua composizione con x 2x3–9x2+12x cresce/descresce negli stessi intervalli, ha un minimo relativo in 2, dove vale log(4) = 1.386…, e un massimo relativo in 1, dove vale log(5) = 1.609….
I limiti di H(x) per x → 0+ e per x → ∞ sono rispettivamente -∞ e ∞; dunque, essendo H continua, la sua immagine è (-∞,∞).

L'esercizio non richiedeva lo studio della concavità del grafico di H. Occorrerebbe studiare dove cresce/decresce H', il che richiederebbe lo studio di H", con calcoli non banali. Ecco, comunque, a destra, accanto al grafico di H, quelli di H' (che si annulla in 1 e 2), e quello di H", che si annulla dove il grafico di H cambia concavità (per x = 1.541667…, x = 3.136834…).  Vedi qui per calcoli e grafici fatti con R.  

K(x) = √(ex – sin(x) – 1)
Dominio(K) = {x C R / exp(x)-sin(x)-1 ≥ 0} = {x C R / exp(x)-1 ≥ sin(x)}

y=exp(x)-1 e y=sin(x) hanno in 0 la stessa tangente (y=x), ma la seconda curva ha la concavità diversa a destra di 0 (vedi figura sotto), per cui a destra di 0 exp(x)-1 ≥ sin(x).

Per capire che accade a sinistra conviene studiare col calcolo differenziale f: x → exp(x)-sin(x)-1; la derivata rispetto a x è exp(x)-cos(x), che (vedi grafici sotto a sinistra) si annulla in 0, è positiva a destra e negativa a sinistra (fino al punto in cui i grafici di exp e di cos si intersecano di nuovo); quindi exp(x)-sin(x)-1 ha un minimo relativo in 0, dove vale 0; dunque anche immediatamente a sinistra di 0 exp(x)-1 ≥ sin(x).  Concludendo, exp(x)-1-sin(x) ≥ 0 è vera in un intervallo [α, ∞] dove α è la prima intersezione tra y=exp(x) e y=sin(x) a sinistra dell'origine.

K

A destra è tracciato il grafico di K in [α, ∞]: K vale 0 nei punti di intersezione delle due curve (in α e in 0) ed è altrove positiva; sul suo andamento (che, essendo √ crescente, è simile a quello di x exp(x)-sin(x)-1) torniamo tra poco.

    Il dominio di K è più grande, in quanto exp(x)-1 cresce e per x → -∞ tende -1, per cui esitino infiniti punti di intersezione con y=sin(x) (vedi i cerchietti nella figura iniziale):  è formato, oltre che da [α, ∞], da infiniti intervallini contenuti ciascuno in un intorno di un punto del tipo -π/2-2nπ (n intero positivo). In essi la funzione vale 0 agli estremi ed è positiva all'interno; è derivabile ed ha dei punti di massimo relativo.
    Limitiamoci a studiare K in [α, ∞] (negli altri intervalli ha un andamento simile a quello in [α,0]).
    α è compreso tra -π (dove sin vale 0) -π/2 (dove sin vale -1). Graficamente o con approssimazioni successive (con un algortimo di bisezione, o con incrementi di potenze di 10 o …) possiamo trovare α con la precisione voluta. Ad es., usando R otteniamo: 
f = function(x) exp(x)-sin(x)-1; solution(f,0, -pi,-pi/2)
# -2.076831
more(solution(f,0, -pi,-pi/2))
# -2.07683127453311

(potremmo trovare anche gli altri intervalli; per il successivo a sinistra avremmo:
[-5pi/2-1,-5pi/2] f(x)=0 se x=-7.88146627138583; [-5pi/2,-5pi/2+1] f(x)=0 se se x= -7.825720087308554, ossia l'intervallo [-7.8814663,-7.8257201])
    Essendo √ crescente strettamente, K(x) ha lo stesso andamento di crescita o decrescita dell'argomento di √ ossia di exp(x)-sin(x)-1. Per x → ∞ K(x) → ∞, per cui, essendo K continua in [α,∞), la sua immagine è [0,∞).
    Abbiamo già trovato che Dx(exp(x)-sin(x)-1) = exp(x)-cos(x): il punto di massimo relativo di K in [α,0] è dove i grafici di exp e cos si intersecano. Con metodi grafici o numerici potremmo approssimarne il valore (ottenendo -1.292695…).
    Per precisare l'andamento di K studiamone la derivata: D(K)(x) = (exp(x)-cos(x))/√(exp(x)-sin(x)-1)/2. Il termine non è definito dove si azzera exp(x)-sin(x)-1, ossia per x=α e x=0.
   Per x → α D(K)(x) → ∞ in quanto exp(x)-sin(x)-1 → 0+ e exp(α)-cos(α)>0 (essendo α tra -π e -π/2). Ciò è in accordo col grafico tracciato sopra (tangente verticale in (α,0).
   Per x → 0 exp(x) = 1+x+o(x), cos(x) = 1-x2/2+o(x2), sin(x) = x-x3/6+o(x3) [vedi: ], per cui:
D(K)(x) = (exp(x)-cos(x))/√(exp(x)-sin(x)-1)/2 = (x+o(x)) / √(x2/2+o(x2)) si comporta come x/|x|/√2: tende a -1/√2 per x → 0-, tende a 1/√2 per x → 0+.
Dunque in (0,0) il grafico di K forma un angolo.

Riassumendo, i grafici ottenibili con R: