Per φ = F, G, H e K, tracciare la curva y = φ(x) precisando quali sono gli x per cui
F(x) = (x2 1) / |x + 1| Innanzi tutto osservo che F(x) è definito per x ≠ -1. Per x > -1 F(x) = (x21)/(x+1) = x-1, per x < -1 F(x) = -(x21)/(x+1) = 1-x. Quindi il grafico di F è quello rappresentato a destra. Senza alcun calcolo differenziale, posso concludere che F descresce in (-∞,-1) e cresce in (-1,∞), e ha come immagine (-2,∞). |
G(x) = log(x) / (x 1)
Innanzi tutto trovo il dominio di G.
log(x) è definito per x > 0. La divisione per x1 è definita per x ≠ 1.
Quindi il dominio di G è
Posso concludere che G è prolungabile a una funzione continua in tutto (0, ∞) e che l'immagine di questa funzione prolungata è (0,∞).
Per studiare dove G cresce/descresce posso calcolare D(G):
D(G)(x) = -( log(x)+(1-x)/x )/(x-1)2 per x ≠ 1 ha lo stesso segno di 1-log(x)-1/x
Dx(1-log(x)-1/x) = 1/x2 - 1/x = (1-x)/x2 che è >0 / =0 / <0 per x <1 / =1 / >1
Quindi log(x)+1/x-1 assume valore massimo per x=1, dove vale 0, e per ogni x ≠ 1 è quindi negaitivo.
Concludendo G ha derivata negativa in tutto il suo dominio.
Per x → 1 G'(x) → -1/2. Il prolungamento di G ha derivata negativa in (0,∞) ed è ivi strettamente decrescente.
H(x) = ln(2x3 9x2 + 12x).
Per trovare il dominio di H studio l'argomento del logartimo, che deve essere positivo.
• È un termine polinomiale in x di 3° grado scomponibile in
• Posso anche studiare direttamente Il secondo metodo conviene in quanto mi permette di schizzare anche il grafico di H (vedi figura a destra). |
Infatti la funzione logaritmo è crescente, quindi la sua composizione con
I limiti di H(x) per x → 0+ e per x → ∞ sono rispettivamente -∞ e ∞; dunque, essendo H continua, la sua immagine è
L'esercizio non richiedeva lo studio della concavità del grafico di H. Occorrerebbe studiare dove cresce/decresce H', il che richiederebbe lo studio di H", con calcoli non banali. Ecco, comunque, a destra, accanto al grafico di H, quelli di H' (che si annulla in 1 e 2), e quello di H", che si annulla dove il grafico di H cambia concavità (per x = 1.541667 , x = 3.136834 ). Vedi qui per calcoli e grafici fatti con R. |
K(x) = √(ex sin(x) 1)
Dominio(K) = {x C R / exp(x)-sin(x)-1 ≥ 0}
= {x C R / exp(x)-1 ≥ sin(x)}
y=exp(x)-1 e y=sin(x) hanno in 0 la stessa tangente (y=x), ma la seconda curva ha la concavità diversa a destra di 0 (vedi figura sotto), per cui
a destra di 0
Per capire che accade a sinistra conviene studiare col calcolo differenziale
K |
A destra è tracciato il grafico di K in
Il dominio di K è più grande, in quanto exp(x)-1 cresce e per x → -∞ tende -1,
per cui esitino infiniti punti di intersezione con
Limitiamoci a studiare K in [α, ∞] (negli altri intervalli ha un andamento simile a quello in [α,0]).
α è compreso tra -π (dove sin vale 0) -π/2 (dove sin vale -1). Graficamente o con approssimazioni successive (con un algortimo di bisezione, o con
incrementi di potenze di 10 o
) possiamo trovare α con la precisione voluta.
Ad es., usando R otteniamo:
f = function(x) exp(x)-sin(x)-1; solution(f,0, -pi,-pi/2)
# -2.076831
more(solution(f,0, -pi,-pi/2))
# -2.07683127453311
(potremmo trovare anche gli altri intervalli; per il successivo a sinistra avremmo:
[-5pi/2-1,-5pi/2] f(x)=0 se x=-7.88146627138583; [-5pi/2,-5pi/2+1] f(x)=0 se se x= -7.825720087308554, ossia l'intervallo [-7.8814663,-7.8257201])
Essendo √ crescente strettamente, K(x) ha lo stesso andamento di crescita o decrescita dell'argomento di √ ossia di
Abbiamo già trovato che
Dx(exp(x)-sin(x)-1) = exp(x)-cos(x):
il punto di massimo relativo di K in [α,0] è dove i grafici di exp e cos si intersecano.
Con metodi grafici o numerici potremmo approssimarne il valore (ottenendo
-1.292695
).
Per precisare l'andamento di K studiamone la derivata: D(K)(x) =
Per x → α D(K)(x) → ∞ in quanto
Per x → 0 exp(x) = 1+x+o(x), cos(x) = 1-x2/2+o(x2), sin(x) =
Dunque in (0,0) il grafico di K forma un angolo.
Riassumendo, i grafici ottenibili con R: