Un uomo deve raggiungere da A la località B (vedi figura) attraversando prima il canale a nuoto con una velocità V1 per un tratto rettilineo AQ e poi proseguendo a piedi con una velocità V2 lungo il tratto rettilineo QB. Quanto deve valere α affinché il tempo impiegato sia minimo? [supponiamo che l'acqua del canale sia ferma]

Non è un quesito facile, non tanto per l'elaborazione matematica, quanto per il fatto che occorre tener conto del contesto per impostare e interpretare le elaborazioni "interne" alla matematica.
Inizio a osservare che α deve essere minore o uguale a π/2, altrimenti si andrebbe nella direzione opposta, e maggiore o uguale alla direzione α di AB, ossia α = arctan(100/200) = arctan(0.5) = 0.46364… = 26.6° (arrotondando), altrimenti si supererebbe B. Inoltre V1 > 0, altrimenti non si attraverserebbe il canale.
Senza fare calcoli, osservo che se V1 ≥ V2 conviene raggiungere B direttamente a nuoto, ossia prendere Q=B, ossia α = α.

Per lo studio in generale cerco di esprimere il tempo t in funzione della direzione α, con α ≤ α ≤ π/2.
QB (in metri) è 200 meno la proiezione orizzontale di AQ; il rapporto tra 100 e questa è tan(α). Quindi QB = 200-100/tan(α). Il tempo per percorrere QB è quindi QB/V2 = (200-100/tan(α)) / V1.
100/AQ = sin(α), quindi AQ/V1 = 100/sin(α) / V1.
Dunque t = 100/(V1 sin(α)) + 200/V2 -100/(V2 tan(α)),
ovvero, esprimendomi in centinaia di metri: t = 1/(V1 sin(α)) + 2/V2 - 1/(V2 tan(α))
[con α ≤ α ≤ π/2; per α=π/2 abbiamo la situazione limite t = 1/V1 + 2/V2]
dt/dα = -cos(α)/(V1 sin(α)²) + 1/(V2 tan(α)² cos(α)²) =
-cos(α)/(V1 sin(α)²) + 1/(V2 sin(α)²) = (-cos(α)/V1 + 1/V2) / sin(α)²
che ha lo stesso segno di V1/V2-cos(α).

Nel nostro caso 0 < V1/V2 < 1 e 0.46364… ≤ α ≤ π/2 (90°).
Sia cos(α)=V1/V2, cioè α = arccos(V1/V2). Per α=α t è minimo in quanto "a sinistra" di α V1/V2-cos(α)>0 e "a destra" V1/V2-cos(α)<0.
Concludendo, se 0 < V1 < V2:
il tempo è minimo per α = max {arctan(1/2), arccos(V1/V2)}

Ad es. se V2 è il doppio di V1 la direzione più conveniente per il tratto a nuoto è α = arccos(1/2) = 60°.
Se V2 = 1.1 V1, dato che arccos(1/1.1) = 24.6° < arctan(1/2) = 26.6°, è questa seconda la direzione migliore.
La direzione migliore non può essere mai 90°, in quanto se V1>0 arccos(V1/V2) non arriva mai a π/2. Fissata V2, 90° è la direzione limite per V1 → 0.

Non è un quesito facile, non tanto per l'elaborazione matematica, quanto per il fatto che occorre tener conto del contesto per impostare e interpretare le elaborazioni "interne" alla matematica. Inizio a osservare che α deve essere minore o uguale a π/2, altrimenti si andrebbe nella direzione opposta, e maggiore o uguale alla direzione α di AB, ossia α = arctan(100/200) = arctan(0.5) = 0.46364… = 26.6° (arrotondando), altrimenti si supererebbe B. Inoltre V1 > 0, altrimenti non si attraverserebbe il canale. Senza fare calcoli, osservo che se V1 ≥ V2 conviene raggiungere B direttamente a nuoto, ossia prendere Q=B, ossia α = α.
Per lo studio in generale cerco di esprimere il tempo t in funzione della direzione α, con α ≤ α ≤ π/2. QB (in metri) è 200 meno la proiezione orizzontale di AQ; il rapporto tra 100 e questa è tan(α). Quindi QB = 200-100/tan(α). Il tempo per percorrere QB è quindi QB/V2 = (200-100/tan(α)) / V1. 100/AQ = sin(α), quindi AQ/V1 = 100/sin(α) / V1. Dunque t = 100/(V1 sin(α)) + 200/V2 -100/(V2 tan(α)), ovvero, esprimendomi in centinaia di metri: t = 1/(V1 sin(α)) + 2/V2 - 1/(V2 tan(α)) [con α ≤ α ≤ π/2; per α=π/2 abbiamo la situazione limite t = 1/V1 + 2/V2] dt/dα = -cos(α)/(V1 sin(α)²) + 1/(V2 tan(α)² cos(α)²) = -cos(α)/(V1 sin(α)²) + 1/(V2 sin(α)²) = (-cos(α)/V1 + 1/V2) / sin(α)² che ha lo stesso segno di V1/V2-cos(α).
Nel nostro caso 0 < V1/V2 < 1 e 0.46364… ≤ α ≤ π/2 (90°). Sia cos(α)=V1/V2, cioè α = arccos(V1/V2). Per α=α t è minimo in quanto "a sinistra" di α V1/V2-cos(α)>0 e "a destra" V1/V2-cos(α)<0. Concludendo, se 0 < V1 < V2: il tempo è minimo per α = max {arctan(1/2), arccos(V1/V2)}
Ad es. se V2 è il doppio di V1 la direzione più conveniente per il tratto a nuoto è α = arccos(1/2) = 60°. Se V2 = 1.1 V1, dato che arccos(1/1.1) = 24.6° < arctan(1/2) = 26.6°, è questa seconda la direzione migliore. La direzione migliore non può essere mai 90°, in quanto se V1>0 arccos(V1/V2) non arriva mai a π/2. Fissata V2, 90° è la direzione limite per V1 → 0.