Sia G la funzione ottenuta prolungando con continuità nell'origine la funzione
Esiste G'(0)? In caso negativo motivare la risposta, in caso affermativo determinarne il valore.
Stessi quesiti per G"(0).
per x → 0 (e–x–1)/x è del tipo "0/0". Approssimiamo et col polinomio t+1:
per x → 0 (e–x–1)/x = ((–x)+1+
d((e–x–1)/x)/dx = d(e–x–1)(1/x) /dx = –e–x(1/x) – (e–x–1)/x2 =
–(e–xx + e–x – 1) / x2. Abbiamo trasformato una forma "∞–∞" in "0/0". Proviamo ad approssimare nuovamente l'esponenziale con un polinomio:
–(e–xx + e–x – 1) / x2 = –((–x+1+
–(–x2+x+o(x2) + –x+
In questo caso non siamo in grado di concludere in quanto possiamo trascurare o(x2) mentre
| Possiamo procedere in vari modi. Uno è applicare il teorema dell'Hopital a –(e–xx + e–x – 1) / x2. Ci riconduciamo al rapporto delle derivate: (e–xx – e–x + e–x) / (2x) = e–x/2 → 1/2. Quindi prendiamo G'(0)=1/2. Un altro modo è capire una volta per tutte come approssimare meglio, con un polinomio di 2° grado, et per t →0. Se conosciamo il teorema di Taylor la questione è già risolta. Altrimenti tracciamo il grafico della differenza tra et e la sua approssimazione di 1° grado t+1. Vedi figura a lato. |
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| L'andamento assomiglia a quello di una parabola. Vediamo che è proprio quello della parabola tracciata a fianco. Possiamo procedere sperimentalmente: se calcoliamo il rapporto tra ex-x-1 e x2 per x=1, x=0.1, x=0.01, x=0.001, … otteniamo una successione che tende a stabilizzarsi su 1/2: 0.718282, 0.517092, .501670, 0.50000, … individuando che ex-x-1 si comporta asintoticamente come x2/2. Vediamo come procedere in modo formale, e supponendo di non sapere niente e di cercare kxα che si comporti come ex-x-1 usando il teorema dell'Hopital: | |
d(ex-x-1) / d(kxα) = (ex-1) / (αkxα-1) ≈ x/(αkxα-1) = 1/(αkxα-2) = 1 se α=2 e k=1/2.
Quindi, per x → 0, ex-x-1 ≈ 1/2 x2, ovvero:
ex = 1 + x + x2/2 + o(x2).
A questo punto abbiamo uno strumento che ci consente di affrontare (anche) il nostro problema:
–(e–xx + e–x – 1) / x2 =
–((1+(–x)+(–x)2/2+o(x2))x + (1+(–x)+(–x)2/2+o(x2)) – 1) / x2 =
–(x–x2+x3/2+o(x3)–x+x2/2+o(x2)) / x2 =
–(–x2/2+o(x2)) / x2 =
≈ x2/2+ / x2 = 1/2.
Abbiamo ritrovato: G'(0) = 1/2
Affrontiamo il problema per G"(0).
d2(e–x–1)/dx2 = … =
(x2+2x+2(1-ex))/(x3ex)
Il secondo termine del rapporto è x3ex ≈ x3·1. Se nel primo termine usassi 1-ex ≈ –x+o(x) otterrei:
(x2+o(x))) / x3 che non mi consente di concludere (di
… = o(x2)/x3
Posso procedere come sopra o usare direttamente "Hopital" o trovare una milgiore approssimazione di ex per x → 0. Si trova:
ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + o(x3).
Usando ciò abbiamo:
… = (x2+2x+2(–x–x2/2–x3/6+o(x3)) / x3 = (–x3/3+o(x3)) / x3 ≈ –1/3.
Quindi G"(0 )= –1/3.
Come affrontare il problema con R (e ottenere il grafico di G soprastante):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
G = function(x) (exp(-x)-1)/x
BF=3; HF=2.5; Plane(-2,2, -3,1); graph( G, -2,2, "brown"); POINT(0,G(1e-9), "red")
dG = function(x) eval(deriv(G,"x"))
# calcolo la derivata in punti vicini a 0 (2^-15,..,2^-20 e opposti)
n=15:20; x=2^-n; dG(x); dG(-x)
# 0.4999899 0.4999948 0.4999981 0.4999981 0.4999990 0.4999995
# 0.5000103 0.5000048 0.5000038 0.5000019 0.5000010 0.5000005
# Posso supporre che la derivata, da destra e da sinistra tenda a 1/2
f = function(x) -1+x/2
graph1(f, -2,2, "red")
# La derivata seconda:
d2G = function(x) eval(deriv2(G,"x"))
n=8:13; x=2^-n; d2G(x); d2G(-x)
# -0.3323583 -0.3328454 -0.3330893 -0.3332106 -0.3332723 -0.3333537
# -0.3343114 -0.3338220 -0.3335774 -0.3334554 -0.3333842 -0.3332723
# Posso supporre che la derivata 2^, da destra e da sinistra tenda a -1/3
#
# Posso trovare i valori esatti delle derivate con WolframAlpha
# d/dx (exp(-x)-1)/x = (exp(-x)*(-x + exp(x) - 1))/x^2
# d^2/dx^2 (exp(-x)-1)/x = (exp(-x)*(x^2 + 2*x - 2 exp(x) + 2))/x^3
# Sono formulazioni equivalenti a quelle trovare a mano sopra