Se  lim _{x → ∞} f(x) = 0  e f è ovunque derivabile, si può concludere, al massimo, che:

A)	lim x → ∞ f '(x) = 0	B)	lim x → ∞ |f '(x)| = 0
C)	lim x → ∞ f '(x) esiste ed è finito	D)	lim x → ∞ f '(x) = ∞
E)	nessuna delle precedenti affermazioni

Risposta ok: E.  La funzione potrebbe continuare ad oscillare con pendenza che passa, ad es., da 1 a –1, anche se l'ampiezza dell'oscillazione tende a 0. Si pensi a raccordare le sinusoidali y=sin(x), y=sin(2x)/2, y=sin(3x)/3, ... in 2π, 2π+π, 2π+π+2π/3, … (sono tutte funzioni che si raccordano con pendenza 1).
Oppure si pensi a y=sin(x·x)/x, la cui pendenza tende ad oscillare tra -2 e 2.
	Dx(y) =2 cos(x2)-sin(x2)/x2; sin(x2)/x2 → 0 per x → ∞; 2 cos(x2) oscilla tra -2 e 2

In un test sottoposto (nel 2001) a una quarantina di laureati in matematica, fisica e ingegneria solo il 14% ha risposto correttamente. Il 23% ha scelto A (il 7% C, il 5% B). Il 51% ha preferito non rispondere.

# I grafici realizzati con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=5.5; HF=2; Plane(-1,14, -1,1)
f1 = function(x) sin(x)
f2 = function(x) {t=x-2*pi; sin(2*t)/2}
f3 = function(x) {t=x-2*pi-2*pi/2; sin(3*t)/3}
f4 = function(x) {t=x-2*pi-2*pi/2-2*pi/3; sin(4*t)/4}
graph2(f1, 0,2*pi, "brown")
graph2(f2, 2*pi,2*pi*(1+1/2), "blue")
graph2(f3, 2*pi*(1+1/2),2*pi*(1+1/2+1/3), "red")
graph2(f4, 2*pi*(1+1/2+1/3),2*pi*(1+1/2+1/3+1/4), "seagreen")
F = function(x) {t=x-2*pi; t}; graph1(F,-1,14, "black")
F = function(x) {t=x-2*pi-2*pi/2; t}; graph1(F,-1,14, "black")
F = function(x) {t=x-2*pi-2*pi/2-2*pi/3; t}; graph1(F,-1,14, "black")
F = function(x) {t=x-2*pi-2*pi/2-2*pi/3-2*pi/4; t}; graph1(F,-1,14, "black")
F = function(x) {t=x; t}; graph1(F,-1,14, "black")
#
Plane(-1,10, -2,2)
f = function(x) sin(x^2)/x; graph2(f, -1,10, "seagreen")
df = function(x) eval(deriv(f,"x")); graph1(df, -1,10, "brown")
abovex("f(x) = sin(x^2)/x     D(f)")