Dove   x → (x2 − 5x + 4) / (x − 5)   cresce e dove decresce?

Se eseguo la divisione ottengo x con resto 4:

(x2 − 5x + 4)/(x − 5) = x + 4/(x − 5)

Posso concludere che la funzione ha l'andamento a lato:  per x che tende a ∞ o a -∞ il termine tende a comportarsi come x (ossia la funzione tende a confondersi col grafico di x → x),  per x che tende a 5 la funzione tende a ∞ o a -∞ a seconda che si avvicini a 5 da destra o da sinistra.
    Determino la derivata prima:

1 − 4/(x − 5)2 = ( (x − 5)2−4 ) / (x − 5)2

    Si annulla quando:

(x − 5)2 − 4 = 0, ossia  (x − 5)2 = 4, ossia  x − 5 = ± 2

   

    Dunque per x = 3 e per x = 7 abbiamo punti di massimo relativo e di minimo relativo. Quindi la funzione cresce per input minori o uguali a 3 e per input maggiori o uguali a 7  (x ≤ 3 V x ≥ 7),  mentre decresce per input maggiori o uguali a 3 e minori di 5 e per input maggiori di 5 e minori o uguali a 7  (3 ≤ x < 5 V 5 < x ≤ 7).

    Per altri commenti: funz. continue e derivabili neGli Oggetti Matematici. 

# come è stato ottenuto il grafico con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")    
BF=4; HF=3; f = function(x) (x^2-5*x+4)/(x-5) 
Plane(-2,10, -5,15); graph(f, -3,11, "brown")
line(5,-20, 5,20, "red")
x=maxmin(f, 2,4); y=f(last()); c(x,y); POINT(x,y,"red")
# 3 1
x=maxmin(f, 6,8); y=f(last()); c(x,y); POINT(x,y,"red")
# 7 9
g = function(x) x; graph1(g,-3,11, "red")
# per x che va a ∞ o -∞  x+4/(x-5) si comporta come x