È più grande 10500 o 51000?

Se provo a calcolare i due valori con del software è facile che ottenga dei messaggi di errori in quanto si tratta di numeri troppo grandi. Ad esempio con R ottengo per entrambi "Inf":

10^500
# Inf
5^1000
# Inf
In alternativa posso procedere in vari modi. Un modo, molto semplice, è quello di trasformare i due valori applicando la funzione log, che è crescente e, quindi, conserva l'ordine tra essi:
log(10^500) = 500*log(10) = 1151.293;  log(5^1000) = 1000*log(5) = 1609.438.
Concludo che il secondo è maggiore.
Questo è un metodo generale, che va bene per confrontare anche altre potenze. In questo caso potevo però osservare anche che 10 = 2·5, e procedere così:
10^500 = (2*5)^500 = 2^500*5^500
5^1000 = 5^(500*2) = 5^500*5^500
2^500 < 5^500, quindi 10^500 < 5^1000.
Posso confrontare i valori trovati con quelli che mi dà WolframAlpha (che riesce a calcolare 10^500 e 5^1000).