Verifica, tracciandone il grafico, che x → √(x²+2)−√(x²+1) è un infinitesimo per x → ∞.
Tabulando opportunamente tale funzione, stabilisci con che "velocità" essa va a 0.

# Grafici con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) sqrt(x^2+2)-sqrt(x^2+1) BF=3; HF=2; Plane(0,20, 0,0.4); graph(f, 0,20, "brown") f(1); f(10); f(100); f(1000) # 0.3178372 0.04962932 0.004999625 0.0004999996 Al moltiplicare per 10 dell'input l'output tende a dividersi per 10:  f(x) va a 0 con la stessa velocità di 1/x. Ovvero f(x) ed 1/x, per x → ∞, sono infinitesimi dello stesso ordine. Posso verificare la cosa anche usando lo script online "funct.(tab/limit)" recuperabile qui, avendo preso come "F(x)" sqrt(x*x+x)-sqrt(x*x+1):

     Enter the x values
1e1, 1e2, 1e3, 1e4, 1e5, 1e6, 1e7
            F(x)
0.049629317241187465, 0.004999625043751621, 0.0004999996249352989, 0.00004999999873689376,
0.0000050000089686363935, 5.00003807246685e-7, 5.029141902923584e-8

Verifichiamo la cosa algebricamente, usando il fatto che A²−B² = (A+B)·(A−B):
√(x²+2)−√(x²+1) = (√(x²+2)−√(x²+1)) (√(x²+2)+√(x²+1)) / (√(x²+2)+√(x²+1)) = ((x²+2)−(x²+1)) / (√(x²+2)+√(x²+1)) = 1/(√(x²+2)+√(x²+1)) ≈ 1/(x+x) = 1/(2x).
OK. Abbiamo anche che f(x) ≈ 1/(2x). Controlliamo la cosa col computer:

g = function(x) f(x)*(2*x)
g(1);g(10);g(100);g(1000)
#  0.6356745  0.9925863  0.999925  0.9999992
# OK: f(x)/(1/2x) -> 1