Siano F(x) = tan(x)−sin(x)+1−cos(x) e G(x) = x²+1−cos(x).
Calcola  lim x→0 F(x)/G(x)  approssimando opportunamente le funzioni circolari con funzioni polinomiali. Controlla il risultato sperimentalmente.

G(x) = x²+1−cos(x) ≈ x²+x²/2 = 3/2·x²
tan(x)−sin(x) = sin(x)/cos(x)−sin(x) = sin(x)(1/cos(x)−1) = sin(x)(1−cos(x))/cos(x) = tan(x)(1−cos(x))
F(x) = tan(x)(1−cos(x))+1−cos(x) = (1−cos(x))(1+tan(x)) ≈ 1−cos(x) ≈ x²/2
F(x)/G(x) ≈ x²/2 / (3/2·x²) = 1/3 per x → 0
Dunque  lim x→0 F(x)/G(x) = 1/3.

Col computer:

F = function(x) tan(x)-sin(x)+1-cos(x)
G = function(x) x^2+1-cos(x)
z = c(1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5, 1e-6)
F(z)/G(z)
# 0.3665745 0.3366649 0.3336666 0.3333667 0.3333363 0.3333333

Ovvero usando lo script online "funct.(tab/limit)" recuperabile qui, avendo preso come "F(x)" (tan(x)-sin(x)+1-cos(x))/(x*x+1-cos(x)):

     Enter the x values
1e-1,  1e-2,  1e-3,  1e-4,  1e-5,  1e-6
            F(x)
0.36657446967865964, 0.33666490741218447, 0.33366664819980846, 0.333366669630222,
0.3333362939278207, 0.3333333333333333