Stabilisci quante soluzioni ha l'equazione in x  −x4 + 2x3 − 6x = 4  (motiva la risposta)

Vi sono diversi modi per rispondere alla domanda. Vediamone alcuni.

•  Il modo più semplice è "ragionare" sul grafico, utilizzando il computer. Impiegando un qualunque programma, ad esempio questo script, tenendo conto che la funzione corrispondente va a -∞ sia "a destra" (per x → ∞) che "a sinistra" (per x → -∞), ottengo:

 

All'esterno di [-50,50] non può cambiare andamento, essendo di grado 4; infatti le funzioni polinomiali di grado 4 al massimo hanno 3 gobbe (e 2 punti di flesso):

funzioni polinomiali di gradi 1,…,5 con numero massimo di gobbe

Quindi la nostra equazione non ha soluzioni.

•  Un'equazione polinomiale, dopo averla eventualmente trasformata con qualche manipolazione algebrica (ad es. 4x³−2x²+8x=0 la posso trasformare in 2x(2x²−x+8)=0 e, quindi, posso ricondurmi allo studio di x=0 e di 2x²−x+8=0), in alcuni casi molto semplici la posso risolvere facilmente con delle tecniche algebriche. Ma non è questo il caso. Però osservo che derivando due volte la nostra equazione ne ottengo una di 2° grado, che so risolvere. Ecco come potrei procedere se non avessi la possibilità di impiegare il computer.

f(x) = -x^4 + 2*x^3 - 6*x - 4
f'(x) = -4*x^3 + 6*x^2 - 6 = -2*x^2*(2*x - 3) - 6
f"(x) = -12*x^2 + 12*x = -12*x*(x - 1)
Il grafico di f ha duunque due flessi, per x=0 e per x=1.
In tali punti f vale, rispettivamente, -4 e -9.
Quindi il grafico di f ha l'andamento della curva nera sottostante.
  
Non so se passa o tocca l'asse x (le soluzioni sarebbero 2 o 1).
o se ne sta al di sotto (nella figura è già tracciato il grafico giusto,
assieme a quello di f' e di f").
Calcolo f in -3, -2, -1, 0; ottengo  -121, -24, -1, -4.
Il massimo realtivo sta tra -2 e 0.
In -2, -1, -1/2, 0 ottengo  -24, -1, -1.3125, -4. Sta tra -1 e -1/2.
(sotto è tracciato il grafico; senza computer posso solo tracciare i punti)
  
In -0.8 e -0.6 ottengo -0.6336 e -0.9616.
  
O tra -1 e -0.8 la funzione cresce o tra -0.8 e -0.6 essa decresce.
  
Il salto massimo è inferiore a 0.4.
Essendo la concavità costante (verso il basso) in intervalli più piccoli
il salto è minore.
Quindi f non arriva al valore 0. Dunque f(x)=0 non ha soluzioni.

•  Altrimenti, senza tracciare il grafico, posso usare del software per testare l'equazione. Ad esempio usando questo script, usando il tasto [test]:

h = 1,  k = 2,  q = -6,  u = -4

    a = -100 ... b = 100
-101999404 -41983524 -13391644 -2687764 -175884 -4 -144124 -2432244 -12528364 -39936484 -98000604
    a = -20 ... b = 20
-175884 -73636 -24124 -5076 -364 -4 -156 -3124 -17356 -57444 -144124
    a = -5 ... b = 5
-849 -364 -121 -24 -1 -4 -9 -16 -49 -156 -409
    a = -1 ... b = 1
-1 -0.6336 -0.9616 -1.7536 -2.8176 -4 -5.1856 -6.2976 -7.2976 -8.1856 -9

posso concludere facilmente che la funzione ha solo valori negativi.

•  Potrei anche impiegare WolframAlpha:
solve -x^4 + 2*x^3 - 6*x - 4=0 for x real       (no real solutions)