Quanto vale il limite di h/k per k → 0?
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Siano k ed h la base e l'altezza del triangolo rettangolo che ha un vertice nell'estremo destro di un cerchio collocato nel
piano cartesiano, un lato sul diametro passante per tale punto ed un altro vertice sul bordo superiore del cerchio. Quanto vale il limite di h/k per k → 0? |
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Si intuisce che man mano che k tende a 0 il triangolo tende a diventare un segmento verticale (prima di ridursi ad un punto), e che quindi il limite di h/k sia ∞. Facciamo una verifica col computer, supponendo che il raggio sia 1 e il centro sia (0,0). x = 1-10^0; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 1 x = 1-10^-1; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 4.358899 x = 1-10^-2; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 14.10674 x = 1-10^-3; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 44.71018 x = 1-10^-4; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 141.4178 x = 1-10^-5; k = (1-x); h = sqrt(1-x^2); h/k # 447.2125 |
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Si intuisce, facilmente, che al tendere di k a 0 si ha che h/k → ∞: al dividersi di k per 100 h/k tende a moltiplicarsi per 10.
La dimostrazione è facile:
h/k = √(1-x²)/(1-x) = √((1-x)(1+x))/(1-x) = √(1+x)√(1-x)/(1-x);
al tendere di k a 0, ovvero di x ad 1, ho che
Come è stato tracciato il grafico:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
PLANE(-1,1, -1,1); circle(0,0, 1, "red")
k=0.2; polyC(c(1,k,k), c(0,f(k),0), "yellow")
text(0.5,0.15,"k"); text(0.3,0.4,"h")
coldash="seagreen"; line(-1,0, k,f(k), 0)