A fianco è tracciato il grafico della funzione F che ad x associa:   √3·sin(x)   −−−−−−−−−    2+cos(x) (1)  Specifica la scala del grafico. (2)  Determina l'immagine di F

La funzione F è periodica.  F(0) = F(π) = F(2·π) = 0.  F(π/2) = √3/2 = 0.86…  F(2) = 0.994378…
(1) È facile dedurre che le ascisse della parte di piano cartesiano rappresentata vanno da 0 a 2·π e che le ordinate vanno da −1 ad 1.
(2) Intuiamo che l'immagine di F sia [−1, 1]. Come dimostrarlo?
Potremmo procedere con delle manipolazioni, ma è molto più semplice ricorrere alla derivazione.
F'(x) = (sqrt(3)*(2*cos(x)+1))/(cos(x)+2)^2 vale 0 quando cos(x)=−1/2, ossia, stando tra 0 e 2·π, quando x = 2/3·π o x = 4/3·π.
Ivi F(x) vale 1 o −1.

# Con R  (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (sqrt(3)*sin(x))/(2+cos(x))
graphF( f, 0,2*pi, "brown")
maxmin(f,0,pi); maxmin(f,pi,2*pi); f(maxmin(f,0,pi)); f(maxmin(f,pi,2*pi))
#  2.094395      4.18879                  1                 -1
fraction(maxmin(f,0,pi)/pi); fraction(maxmin(f,pi,2*pi)/pi)
#          2/3                          4/3
# Ovvero cercando dove si azzera la derivata:
g = function(x) eval( deriv(f,"x") ); solution(g,0, 0,pi); solution(g,0, pi,2*pi)
#                                     2.094395             4.18879
#
# Con WolframAlpha:
# min (sqrt(3)*sin(x))/(2+cos(x)) for 0 <= x <= 2*pi
# max (sqrt(3)*sin(x))/(2+cos(x)) for 0 <= x <= 2*pi