Vi sono fenomeni che decrescono con velocità proporzionale alla loro grandezza. Questo accade, ad esempio, nel caso di molti farmaci per la loro eliminazione dall'organismo. Per caratterizzare l'andamento della concentrazione nel sangue di un farmaco di questo tipo se ne indica, in genere, la emivita, ossia il tempo che la concentrazione impiega a dimezzarsi.  Un farmaco ha emivita di 5 ore. Posta uguale a 1 la concentrazione iniziale, rappresenta graficamente la funzione che al tempo trascorso t (in ore) associa la concentrazione C e cerca di esprimere con una formula come C varia in funzione di t. Dopo quanto tempo rimane solo il 75% del farmaco?

Indichiamo con t il tempo in ore e con C la concentrazione. Inzialmente, C(0)=1. Dopo 5 ore C(5)=1/2. Dopo 10 ore C(10)=1/4. Dopo 15 ore C(15)=1/8. E così via.  I pallini sotto rappresentano (in un "piano" leggermente più grande) questi dati.  Si capisce che l'andamento complessivo è quello tracciato a tratto continuo.  Qual è l'espressione di una funzione il cui grafico ha tale andamento?
            C = (1/2)^t/5

Dal grafico deduco che rimane il 75% del farmaco dopo circa due ore. Non ha molto senso trovare una valutazione più precisa. Volendo posso farlo risolvendo l'equazione (1/2)^t/5 = 0.75:
log((1/2)^t/5) = log(0.75)
log(2^-t/5) = log(0.75)
-t/5*log(2)= log(0.75)
t = -log(0.75)/log(2)*5 = 2.075187   ossia 2 ore e 0.075*60 = 4.5 minuti
Volendo posso risolvere l'equazione anche con R o con un semplice script (vedi). Qui sotto come procedere con R, assieme alle istruzioni per la rappresentazione grafica:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
Plane(0,30, 0,1)
abovex("ore"); abovey("concentrazione")
x=c(0,5,10,15,20,25,30); y=c(1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64); POINT(x,y,"brown")
C = function(t) (1/2)^(t/5); graph1(C, 0,30, "brown")
t = solution(C,0.75, 0,5); t
# 2.075187    2 ore e rotti
(t-2)*60
# 4.51125     4 minuti e rotti
((t-2)*60-4)*60
# 30.67499    31 secondi

Ciò che si ottiene con lo script online "equation" recuperabile qui, avendo preso come "F(x)" pow(1/2,x/5)-0.75:

a=2.0751874963934824 b=2.07518749641622
...
a=0 b=12.5
a=0 b=25
a=0 b=50
a=0 b=100

2.075187496.