Quale deve essere la forma della casseruola, cioè quale rapporto ci deve essere tra il diametro D e l'altezza H della casseruola?
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Si vuole costruire una casseruola di alluminio di spessore costante in modo che contenga una certa quantità di liquido impiegando la minore quantità
possibile di metallo. Quale deve essere la forma della casseruola, cioè quale rapporto ci deve essere tra il diametro D e l'altezza H della casseruola? |
Il problema non è facile.
Siano D il diametro della casseruola, H la sua altezza.
Il raggio è D/2. Il volume V della casseruola è π·(D/2)²·H = π·D²·H/4.
L'area di base è π·(D/2)², quella laterale è 2·π·D/2·H = π·D·H.
Quindi la superfice S della casseruola è π·D²/4+π·D·H.
Noi cerchiamo D e H tale che V sia massimo.
Come possiamo risolvere il problema? Possiamo supporre S costante, ad esempio S = 1.
Posso esprimere H in funzione di D: 1 = π·D²/4+π·D·H → H = (1−π·D²/4)/(π·D).
Quindi V = π·D²·H/4 = π·D²·(1−π·D²/4)/(π·D)/4 =
D·(1−π·D²/4)/4 = (D−π·D³/4)/4
Per trovare il massimo di V posso derivare e procedere come nella soluzione dell'esercizio 7.7 (vedi), che
è del tutto analogo, oppure posso scaricare i calcoli sul software (ad esempio R o WolframAlpha, vedi sotto) e ottenere che il
rapporto tra D ed H deve essere 2.
# I calcoli con R (vedi): source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") V = function(D) D*(1-pi*D^2/4)/4 graphF(V,0,10, "blue") graphF(V,0,1, "blue") minmax(V,0,1) # 0.65147 D0 = minmax(V,0,1) H0 = (1-pi*D0^2/4)/(pi*D0) D0/H0 # 2 # # con WolframAlpha: max D*(1-pi*D^2/4)/4 for D>0 D = 2/√(3π) = 0.65147... ... |
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Posso controllare il risultato usando gli script online "max/min of fun." recuperabili qui,
avendo preso come "F(x)"
# max
Con lo script online "calculations" (recuperabile qui) mettendo:
D0 = 0.65147
H0 = (1-PI*D0*D0/4)/(PI*D0)
u = round(D0/H0*100)/100
document.write("D0/H0 = "+ u)
ottengo:
D0/H0 = 2