Sia F(x) = 3x^√3(2+sin(x)) / (x^√3-1/x¹⁰⁰). Si studi lim_{x → ∞}F(x)
Possiamo procedere in più modi. Ad es.:
(1) Osservare che per x →∞ x^√3-1/x¹⁰⁰ ≈ x^√3 in quanto 1/x¹⁰⁰ → 1/∞ = 0.
Da cui: F(x) ≈ 3x^√3(2+sin(x)) / x^√3 = 6+3sin(x), che per x →∞ non ha limite. Quindi anche F(x) non ha limite.
(2) Trasformare F(x), moltiplicando entrambi i termini per x^–√3, in:
3(2+sin(x)) / (1-x^{–100–√3})
Se ad x dò i valori man mano crescenti π/2, π/2+2π, π/2+4π, π/2+6π, …, in cui sin vale 1, qui F(x) vale 6/(1-x^{–100–√3}) e (per x che varia lungo la successione) tende a 6 in quanto per x → ∞ x^{–100–√3} → 0.
Se ad x dò i valori man mano crescenti 3π/2, 3π/2+2π, 3π/2+4π, 3π/2+6π, …, in cui sin vale -1, qui F(x) vale 3/(1-x^{–100–√3}) e (per x che varia lungo la successione) tende a 3, diverso da 6.
Ma se F(x) avesse limite L (per x → ∞) dovrebbe accadere che su ogni successione di punti x(0), x(1), x(2), … (tendente all'infinito) F assuma valori che tendono a questo stesso L (infatti se x(N) → α per N → ∞ e F(x) → L per x → α, la funzione composta F(x(N)) per N → ∞ deve tendere a L).

    Il grafico con questo script:

Grafico e calcoli con WolframAlpha:
plot 3*x^sqrt(3)*(2+sin(x))/(x^sqrt(3)-1/x^100), x=-5..20
lim 3*x^sqrt(3)*(2+sin(x))/(x^sqrt(3)-1/x^100) as x -> inf
    Come ottenere il grafico con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 3*x^sqrt(3)*(2+sin(x))/(x^sqrt(3)-1/x^100)
BF=5; HF=2
Plane(-1,50,-2, 15); graph2(f, -1,50, "brown")