Ho una lamiera quadrata. Tagliando via da essa quattro quadratini uguali (aventi ciascuno un vertice in comune con la lamiera originale) ottengo una lamiera a forma di croce da cui, con quattro piegature e quattro saldature, posso ottenere una scatola a forma di parallelepipedo. Come devo operare i tagli per ottenere una scatola di volume massimo?

A lato è illustrata la situazione nel caso in cui il lato della lamiera sia lungo 20 cm e il volume sia espresso in cm³. Il volume sarebbe V = (20–2x)²x.
La situazione non cambia se si esprimono le misure in un'altra unità di misura. Supponiamo, dunque, che il lato della nostra lamiera sia lungo 1 U dove U è una qualunque unità di lunghezza, e che V sia espresso in U³.

Allora abbiamo V = (1–2x)²x.
x deve stare in (0, 0.5) (i quadratini devono avere lato inferiore a metà di quello della lamiera).
Potrei fare il grafico di V in funzione di x e dà esso ricavare quanto deve valere x [ ] e ottenere, con qualche zoom, che x deve essere 0.17, anzi 1.67, anzi …, arrivando alla precisione che voglio. Potrei anche operare per tentativi ragionati con una calcolatrice, senza ulteriori zoom. A scopi pratici può essere sufficiente concludere che i quadratini devono avere lato pari al 16.7% del lato della lamiera (ossia 3 e 1/3 centimetri). In maniera altrettanto semplice potrei usare uno script: vedi.
Derivando V rispetto a x riusciamo a ottenere il valore "esatto" della ascissa in cui il grafico ha pendenza nulla, ossia per cui, nel nostro caso, V assume il valore massimo:

dV/dx = d((1–2x)²x)/dx = d(4x³−4x²+x)/dx = 12x²−8x+1
12x²−8x+1 = 0 ha come soluzioni, rispetto a x, 1/2 e 1/6. Nel nostro caso il dominio di V è dato dalla condizione 0 < x < 0.5; x=1/2 corrisponde alla situazione limite in cui tagliando i quattro quadrati faccio sparire tutta la lamiera; corrisponderebbe sul grafico di V (facendo variare x ovunque) a un punto di minimo relativo.
Dunque V assume valore massimo per x = 1/6 (in accordo col valore trovabile con metodi grafici o numerici), ossia se taglio dalla lamiera quadrata iniziale dei quadratini con lato pari a 1/6 del suo lato.

Più formalmente avremmo potuto procedere così
– devo studiare V: x → 4x³−4x²+x in (0, 0.5);
– V'(x) = 12x²−8x+1
– studio il segno di V'(x): è una funzione quadratica con coefficiente direttivo positivo, avente quindi come grafico una parabola con la concavità verso l'alto; se la parabola interseca l'asse x in due punti, V'(x) è negativo quando x è compreso tra questi due punti; se l'interseca in un un solo punto V'(x) è positivo in tutti gli altri punti; altrimenti è sempre positivo;
– 12x²−8x+1=0 ha 1/2 e 1/6 come soluzioni, quindi (vedi schema seguente)
1/6 1/2 segno di V'(x) + - + andamento di V / \ / max min
– per x=1/6 V(x) raggiunge il valore massimo all'interno di (0, 0.5) (non è un massimo assoluto, ma solo relativo, se si fa variare x ovunque, in quanto, per x → ∞, V(x) → ∞; è massimo assoluto se stiamo nel nostro intervallo).

Per altri commenti: derivata e differenziale neGli Oggetti Matematici.

Calcoli e
grafici con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
V = function(x) (1-2*x)^2*x
BF=3.5; HF=3; graph1F( V, 0,1, "brown")
graph( V1, 0,1/2, "brown")
#
graph2F( V, 0,1/2, "brown")
maxmin(V1, 0,1/2)
# 0.1666667
fraction(last())  # o: fraction( maxmin(V1, 0,1/2) )
# 1/6
POINT(1/6,0, "red"); POINT(1/6,V1(1/6), "red")

In alternativa posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso, ad esempio, come "F(x)" il volume della scatola originale (di lato 20 cm): pow(20-2*x,2)*x.

# max

Se il taglio è 3.33… (3 e 1/3) centimetri si ha il volume massimo, di 593 cm³.

	A lato è illustrata la situazione nel caso in cui il lato della lamiera sia lungo 20 cm e il volume sia espresso in cm³. Il volume sarebbe V = (20–2x)²x. La situazione non cambia se si esprimono le misure in un'altra unità di misura. Supponiamo, dunque, che il lato della nostra lamiera sia lungo 1 U dove U è una qualunque unità di lunghezza, e che V sia espresso in U³.
Allora abbiamo V = (1–2x)²x. x deve stare in (0, 0.5) (i quadratini devono avere lato inferiore a metà di quello della lamiera). Potrei fare il grafico di V in funzione di x e dà esso ricavare quanto deve valere x [ ] e ottenere, con qualche zoom, che x deve essere 0.17, anzi 1.67, anzi …, arrivando alla precisione che voglio. Potrei anche operare per tentativi ragionati con una calcolatrice, senza ulteriori zoom. A scopi pratici può essere sufficiente concludere che i quadratini devono avere lato pari al 16.7% del lato della lamiera (ossia 3 e 1/3 centimetri). In maniera altrettanto semplice potrei usare uno script: vedi. Derivando V rispetto a x riusciamo a ottenere il valore "esatto" della ascissa in cui il grafico ha pendenza nulla, ossia per cui, nel nostro caso, V assume il valore massimo:
dV/dx = d((1–2x)²x)/dx = d(4x³−4x²+x)/dx = 12x²−8x+1 12x²−8x+1 = 0 ha come soluzioni, rispetto a x, 1/2 e 1/6. Nel nostro caso il dominio di V è dato dalla condizione 0 < x < 0.5; x=1/2 corrisponde alla situazione limite in cui tagliando i quattro quadrati faccio sparire tutta la lamiera; corrisponderebbe sul grafico di V (facendo variare x ovunque) a un punto di minimo relativo. Dunque V assume valore massimo per x = 1/6 (in accordo col valore trovabile con metodi grafici o numerici), ossia se taglio dalla lamiera quadrata iniziale dei quadratini con lato pari a 1/6 del suo lato.

Più formalmente avremmo potuto procedere così – devo studiare V: x → 4x³−4x²+x in (0, 0.5);
– V'(x) = 12x²−8x+1 – studio il segno di V'(x): è una funzione quadratica con coefficiente direttivo positivo, avente quindi come grafico una parabola con la concavità verso l'alto; se la parabola interseca l'asse x in due punti, V'(x) è negativo quando x è compreso tra questi due punti; se l'interseca in un un solo punto V'(x) è positivo in tutti gli altri punti; altrimenti è sempre positivo; – 12x²−8x+1=0 ha 1/2 e 1/6 come soluzioni, quindi (vedi schema seguente)
1/6 1/2 segno di V'(x) + - + andamento di V / \ / max min
– per x=1/6 V(x) raggiunge il valore massimo all'interno di (0, 0.5) (non è un massimo assoluto, ma solo relativo, se si fa variare x ovunque, in quanto, per x → ∞, V(x) → ∞; è massimo assoluto se stiamo nel nostro intervallo).