Si deve realizzare un barattolo di forma cilindrica senza coperchio che abbia una fissata superficie totale (= area della base + superficie laterale). Determinare quale deve essere la forma del barattolo (cioè il rapporto tra l'altezza e il raggio di base) affinché il suo volume sia massimo.   

Indichiamo con S, h, R e V superficie, altezza, raggio e volume del nostro barattolo. Abbiamo:
S = πR2+2πRh, V = πR2h.
Per comodità poniamo S=1. Possiamo farlo in quanto S è fissata.
Cerchiamo di esprimere V in funzione di una sola tra h e R usando la prima equazione (con S=1). Da questa è più facile ricavare h in funzione di R piuttosto che il viceversa.
h = (1-πR2)/(2Rπ)
V = πR2(1-πR2)/(2Rπ) = (R-πR3)/2
Volendo, potrei procedere "numericamente", senza il calcolo differenziale, usando uno script: vedi. Comunque:
d(R-πR3)/dR = 1 - 3πR2
R → 1 - 3πR2 ha per grafico una parabola con la concavità verso il basso. Taglia l'asse x in 1/√(3π) (per cui passa salendo) e -1/√(3π) (per cui passa scendendo). In quanto R deve essere positivo, non ci interessa -1/√(3π). Dunque dV/dR vale 0 in 1/√(3π) ed è ivi crescente, ossia è negativa a sinistra e positiva a destra:
V assume valore massimo per R = 1/√(3π).
Confrontiamo R e h:
h/R = (1-πR2)/(2πR)/R = (1-πR2)/(2πR2) = (1-π/(3π))/(2π/(3π)) = (1-1/3)/(2/3) = 1
Il volume è massimo se l'altezza è uguale al raggio, ossia se il diametro è il doppio dell'altezza.

# Controllo i calcoli con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# suppongo superficie = 1; il raggio R  sicuramente minore di 1
# h = (1-pi*R^2)/(2*pi*R)
V = function(R) (R-pi*R^3)/2
R = maxmin(V,0,1); R
# 0.325735  il volume  massimo per questo valore di R
# Valutiamo il rapporto tra altezza h ed R
(1-pi*R^2)/(2*pi*R)/R
# 1

In alternativa posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso, ad esempio, come "F(x)" il volume del barattolo di raggio x (con S = 1): (x-PI*pow(x,3))/2.

# max

Il rapporto tra il volume (0.10857833598) e il raggio (0.325735) è:  0.325735 / 0.10857833598 = 3.
Area di base = π·0.325735² = 0.333…;  altezza = Volume/(Area di base) = 0.10857833598·3 = 0.325735
altezza = raggio