Si deve realizzare un barattolo di forma cilindrica con coperchio che abbia una fissata superficie totale (= area delle due basi + superficie laterale). Determinare quale deve essere la forma del barattolo (cioè il rapporto tra l'altezza e il raggio di base) affinché il suo volume sia massimo.   

Indichiamo con S, h, R e V superficie, altezza, raggio e volume del nostro barattolo. Abbiamo:
S = 2πR2+2πRh = 2πR(R+h), V = πR2h.
Per comodità poniamo S=1. Possiamo farlo in quanto S è fissata.
Cerchiamo di esprimere V in funzione di una sola tra h e R usando la prima equazione (con S=1). Da questa è più facile ricavare h in funzione di R piuttosto che il viceversa.
h = (1-2πR2)/(2Rπ)
V = πR2(1-2πR2)/(2Rπ) = (R-2πR3)/2
d(R-2πR3)/dR = 1 - 6πR2
R → 1 - 6πR2 ha per grafico una parabola con la concavità verso il basso. Taglia l'asse x in 1/√(6π) (per cui passa salendo) e -1/√(6π) (per cui passa scendendo). In quanto R deve essere positivo, non ci interessa -1/√(6π). Dunque dV/dR vale 0 in 1/√(6π) ed è ivi crescente, ossia è negativa a sinistra e positiva a destra:
V assume valore massimo per R = 1/√(6π).
Confrontiamo R e h:
h/R = (1-2πR2)/(2πR)/R = (1-2πR2)/(2πR2) = (1-2π/(6π))/(2π/(6π)) = (1-1/3)/(1/3) = 2
Il volume è massimo se l'altezza è il doppio del raggio, ossia se il diametro è pari all'altezza.

# Controllo i calcoli con R
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# suppongo superficie = 1; il raggio R  sicuramente minore di 1
# h = (1-2*pi*R^2)/(2*pi*R)
V = function(R) (R-2*pi*R^3)/2
R = maxmin(V,0,1); R
# 0.325735  il volume  massimo per questo valore di R
# Valutiamo il rapporto tra altezza h ed R
(1-2*pi*R^2)/(2*pi*R)/R
# 2