Dimostrare che l'equazione x¹⁰⁰⁰ + A x + B = 0, comunque si prendano A e B numeri reali, ha al più due soluzioni reali.

Sia F(x) = x¹⁰⁰⁰ + A x + B.
Essendo un intero 1000 pari F(x) cresce sempre pił velocemente ma mano che x si allontana da 0; precisamente lim _{x → ∞} F(x) = ∞ = lim _{x → -∞} F(x).
Dunque l'immagine di F è del tipo [h,∞]. Il grafico di F potrebbe tagliare o no l'asse x. Per stabilire in quanti punti potrebbe tagliarlo dobbiamo stabilire com'è la sua forma. Possiamo farlo studiando come varia la sua pendenza.

Sia G(x) = dF(x)/dx = 1000 x⁹⁹⁹ + A
G(x) è una funzione crescente, essendo 999 dispari.
lim _{x → ∞}G(x) = ∞, lim _{x → -∞}G(x) = -∞.
Quindi G(x) = 0 ha un'unica soluzione (il suo grafico taglia l'asse x esattamente in un punto).
Si conclude che per tale valore di x F(x) raggiunge il valore minimo e che (essendo G crescente) il grafico di F ha la concavità rivolta verso l'alto. Quindi può tagliare l'asse x in al più due punti.

Sotto i grafici (e i calcoli) in due casi, realizzati col software online WolframAlpha.

plot y = x^1000 + 1*x + 0, -2 < x < 2, -2 < y < 3
plot y = x^1000 - 1*x + 1, -2 < x < 2, -2 < y < 3

Il grafico a destra tocca l'asse x?

min x^1000 - 1*x + 1, -2 < x < 2
     1 - 999/(1000 10^(1/333)) at x = 1/10^(1/333)
     0.007883927...  at 0.993109181...

No

# Come ottenere i grafici con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=2.5
f = function(x) x^1000+A*x+B
A=2; B=0; Plane(-1.5,1.5, -3,3); graph2(f, -1.5,1.5, "brown")
# etc.